Задание 18

1. Общие сведения

Сложность: повышенная.

Примерное время решения (для тех, кто будет выполнять часть 2):  4 минуты

Тема:              Основы логики

Подтема:     Логические выражения. Эквивалентные преобразования логических выражений. Утверждения о математических объектах, построенные из элементарных утверждений с помощью логических связок. Истинность таких утверждений.

Что проверяется: Умение выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.  Умение проверять истинность высказываний о математических объектах. Высказывания могут включать элементарные утверждения ("точка P лежит внутри квадрата ABCD", "число K делится на 5" и т.п.), логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность). Умение понимать утверждения всеобщности (примеры:  ”при любом x  выполнено x² – x +1 >0”; ”при любом x выполнено: (x>10 \/ x<1) -> x² – 5x +6 >0”;) и определять истинность таких высказываний для заданного множества объектов.

Как может выглядеть задание? Например, так:

(1) Дано выражение, зависящее от аргументов определенного типа (слов, чисел и пр.) и несколько наборов значений аргументов. Надо определить, при каком наборе аргументов выражение истинно (ложно), на скольких наборах выражение истинно (ложно) и т.п.

(2) Дан набор высказываний всеобщности относительно некоторых множеств объектов (чисел, слов, точек и т.п.). Требуется указать истинное (ложное)  высказывание, количество истинных (ложных) высказываний и т.п

2. Советы учителям и ученикам

1. Что должен знать ученик

Нужно уметь формально вычислять значение логического выражения, то есть знать, например, что значение выражения a  → b равно 0 тогда и только тогда, когда a=1 и b=0, а значение выражения a \/ b равно 0 тогда и только тогда, когда a=0 и b=0 и пр. Полагаться при таких вычислениях на "смысл" (что бы это не значило) логических связок следует с осторожностью, особенно это касается импликации.

Нужно уметь выполнять тождественные преобразования логических выражений – не упростив выражение, трудно понять, что оно означает.

Нужно понимать связь между логическими и теоретико-множественными операциями и использовать эти знания при преобразовании выражений. Например,

Краткий перечень необходимых сведений по логике содержится здесь.

2. Учителю: как разбирать эту задачу с учениками

В 2013 г. задача А10 – это действительно задача повышенной сложности, ее нельзя решить просто подставляя в формулу различные числовые значения.

Сначала нужно убедиться, что ученики владеют базовыми знаниями (см. выше). Для этого полезно порешать базовые задачи. Они играют ту же роль при решении задач такого типа, как уравнения вида x - 5 = 0 играют при решении алгебраических уравнений. Более сложные задачи сводятся к ним. Полезно прочитать статью К.Ю.Полякова. Далее - решаем и разбираем более сложные задачи.

3. Ученику: как решать задачу на экзамене

Преобразуй данное в задаче  выражение к такому  виду, с которым легко разобраться. Например, к виду одной из базовых задач.   При решении полезно рисовать рисунки. Если задача будет про отрезки, рисуй числовую ось.

3. Разбор отдельных задач

4. Задачи для самостоятельного решения.