Выбор отрезка, для которого истинно универсальное высказывание. Базовые задачи с решениями

К каждой задаче полезно нарисовать рисунок – числовую ось с отмеченными отрезками. Нарисуйте эти рисунки самостоятельно.

Если не получится – пишите.

 A10.1

 

 

 

Варианты ответов:

1) [8, 20]

2) [12. 24]

3) [16, 28]

4) [18, 32]

Правильный вариант: 4

Решение:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [18, 32].

Ответ: [18, 32] (вариант 4).

 

A10-2

 

 

 

Варианты ответов:

1) [11, 31]

2) [21, 41]

3) [31, 51]

4) [41, 61]

Правильный вариант: 2

Решение:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [21, 41].

Ответ: [21, 41] (вариант 2).

 

A10-3

 

 

 

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 2

Решение 1:

Формула эквивалентна формуле (x Î A) →  (x Î P). Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [62, 83].

Решение 2:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда ¬(x Î A) истинно везде, где  (x Î P) ложно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  истинно). Последнее означает, что отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [62, 83].

Ответ: [62, 83] (вариант 2).

 

A10-4

 

 

 

Варианты ответов:

1) [31, 52]

2) [43, 64]

3) [55, 76]

4) [67, 98]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула эквивалентна формуле (x Î P) →  (x Î A). Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [55, 76].

Решение 2:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда (x Î A) истинно везде, где  ¬(x Î P) ложно, т.е. (x Î P) истинно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  ложно). Последнее означает, что отрезок A целиком содержит отрезок P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [55, 76].

Ответ: [55, 76] (вариант 3).

 

A10-5

 

 

 

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда ее отрицание тождественно истинно. Используя правило де Моргана, получим, что отрицание исходной формулы эквивалентно формуле

(x Î P) \/  ¬ (x Î A)

Последняя формула, в свою очередь, эквивалентна формуле

(x Î A) →  (x Î P).

Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Решение 2:

Формула ложна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда (x Î A) ложно везде, где ¬(x Î P) истинно, т.е. (x Î P) ложно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  истинно). Последнее означает, что отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Ответ: [73, 94] (вариант 3).

 

A10-6

 

 

 

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда ее отрицание тождественно истинно. Используя правило де Моргана, получим, что отрицание исходной формулы эквивалентно формуле

¬ (x Î P) \/ (x Î A)

Последняя формула, в свою очередь, эквивалентна формуле

(x Î P) →  (x Î A).

Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Решение 2:

Формула ложна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда ¬(x Î A) ложно везде, где (x Î P) истинно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  ложно). То есть (x Î A) истинно везде, где (x Î P) истинно Последнее означает, что отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Ответ: [73, 94] (вариант 3).