Задание 18. Разбор отдельных задач.

1. Задачи в формате ЕГЭ 2012 г.

2. Задачи в формате ЕГЭ-2013-2014 гг.

      Статья К.Ю.Полякова (после перехода по ссылке прокрутите 3 страницы вниз )

     Другие материалы К.Ю.Полякова вот здесь

3. Задачи в формате ЕГЭ-2015-2016 гг.

 

1. Задачи в формате ЕГЭ 2012 г.

1. Пример из демонстрационного варианта

     Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:

(первая буква согласная → вторая буква согласная) / (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)

1) КРИСТИНА         2) МАКСИМ             3) СТЕПАН               4) МАРИЯ

     Набросок решения  Импликация a  → b равносильна выражению ¬a / b.

Первая импликация верна для слов КРИСТИНА и СТЕПАН. Из этих слов вторая импликация верна только для слова КРИСТИНА.

Ответ: 1. КРИСТИНА

 2.Еще два примера

  Пример 1 (открытый сегмент банка ФИПИ)

Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:

(первая буква согласная → первая буква гласная) / (последняя буква гласная → последняя буква согласная)

1. ИРИНА       2. МАКСИМ    3. АРТЁМ    4. МАРИЯ

         Набросок решения . Импликация a  → b равносильна выражению ¬a / b. Это выражение истинно если или выражение a ложно, или оба выражения a и b истинны. Поскольку в нашем случае ни в одной из импликаций оба выражения одновременно истинными быть не могут, то должны быть ложными утверждения «первая буква согласная» и «последняя буква гласная», то есть нам нужно слово, у которого первая буква гласная, а последняя — согласная.

Ответ: 3. АРТЁМ.

  Пример 2. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

(X < 4)→(X >15 )

            1)  1     2) 2      3) 3      4) 4

Решение. Никакое число не может быть одновременно меньше 4 и больше 15. Поэтому импликация истинна только, если посылка X < 4 ложна.

Ответ 4.

 

2. Задачи в формате ЕГЭ 2013-2014 гг.

2.1. Демо-версия 2013 г. 

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14].

Выберите такой отрезок A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

 

1) [0, 3]                2) [3, 11]              3) [11, 15]            4) [15, 17]

 2.2. Демо-версия 2014 г. 

На числовой прямой даны два отрезка: P = [1, 39] и Q = [23, 58].  Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение

 ( (x ∈ P) → ¬ (x ∈  Q) )→ ¬ (x ∈  А)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной

Варианты ответов:   1)[5, 20]    2)[25, 35]     3)[40, 55]      4)[20, 40]

Решение.  Преобразуем выражение, используя эквивалентные преобразования логических выражений. Имеем:

¬( (x ∈ P) → ¬ (x ∈  Q) )   ∨ (¬ (x ∈  А) )  - замена импликации дизъюнкцией;

¬( ¬(x ∈ P)     ∨  ¬ (x ∈  Q) )   ∨ (¬ (x ∈  А) )  - замена импликации дизъюнкцией;

( (x ∈ P)    ∧  (x ∈  Q) )   ∨ (¬ (x ∈  А) )  - правило де Моргана и снятие двойного отрицания;

(x ∈  А) → ( (x ∈ P)    ∧  (x ∈  Q) )  - замена дизъюнкции импликацией

(x ∈  А) →  (x ∈ P∩ Q)   - переход к пересечению множеств

Последнее выражение является тождественно истинным тогда и только тогда, когда A ⊆ P∩ Q = [1, 39] ∩ [23, 58] = [23, 39]  (см. здесь). Из четырех данных отрезков этому условию удовлетворяет только отрезок [25, 35]  - вариант №2.

Ответ: [25, 35]  - вариант №2

 

3. Задачи в формате ЕГЭ 2015-2016 гг.

3.1. Задача 1.

 На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [20, 30].

Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈  P) ) \/ (x ∈  Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Правильный ответ:    10

Решение:

Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈  А))  \/ ( (x ∈  P) ) \/ (x ∈  Q)

Выражение ((x ∈  P) ) \/ (x ∈  Q) истинно для тех только тех x, которые лежат либо в P, либо в Q, иными словами – для x ∈  R = P ∪ Q =[5, 10] ∪ [20, 30].  Выражение

(¬(x ∈  А))  \/ (x ∈  R)

тождественно истинно тогда и только тогда, когда  A ∈  R. Так как A – отрезок, то A ∈  R тогда и только тогда, когда A ∈  P или A ∈  Q. Так как отрезок Q длиннее отрезка P, то наибольшая длина отрезка A достигается, когда A = Q = [20, 30]. Длина отрезка A в этом случае равна 30 – 20 = 10.

3.2. Задача 2.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.  Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&А ≠ 0)

 тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Правильный ответ:    57

Решение:

Преобразуем выражение – заменим импликации дизъюнкциями. Получим:

¬(x&25 ≠ 0)  ∨ (¬(x&33 ≠ 0)  ∨  x&А ≠ 0)

Раскроем скобки и заменим отрицания неравенств равенствами:

 x&25 = 0  ∨  x&33 = 0  ∨  x&А ≠ 0               (*)

Имеем: 25 = 11001₂ и 33 = 100001₂.  Поэтому формула

x&25 = 0  ∨  x&33 = 0

ложна тогда и только тогда, когда двоичная запись числа x  содержит 1 хотя бы в одном из следующих двоичных разрядов: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) и 1.

Чтобы формула (*) была истинна при всех таких x необходимо и достаточно, чтобы двоичная запись числа A содержала 1 во всех этих разрядах. Наименьшее такое число – это число 32+16+8+1 = 57.