Анализ универсального высказывания (задачи с кратким ответом). Ответы и решения.

№1        №2          №3         №4         №5         №6         №7         №8        №9         №10

    

 

№1  На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 35] и Q = [30, 40]. Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение.  Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈ А))  \/ ( (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

Выражение ((x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q) истинно только для тех x, которые лежат либо в P, либо в Q, иными словами – для x ∈ R = P ∪ Q =[5, 21].  Выражение

(¬(x ∈ А))  \/ (x ∈ R)

тождественно истинно тогда и только тогда, когда  A ⊆R. Поэтому наибольшая длина отрезка A достигается, когда A = R = [25, 40]. Длина отрезка A в этом случае равна 40 – 25 = 15.

Ответ 15

 

№2   На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 35] и Q = [40, 52]. Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение  Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈А))  \/ ( (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

Выражение ((x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q) истинно для тех только тех x, которые лежат либо в P, либо в Q, иными словами – для x ∈ R = P ∪ Q =[25, 35] ∪ [40, 52].  Выражение

(¬(x ∈ А))  \/ (x ∈ R)

тождественно истинно тогда и только тогда, когда  A ⊆ R. Так как A – отрезок, то A ⊆ R тогда и только тогда, когда A ⊆ P или A ⊆ Q. Так как отрезок Q длиннее отрезка P, то наибольшая длина отрезка A достигается, когда A = Q = [40, 52]. Длина отрезка A в этом случае равна 52–40 = 12.

Ответ  12

 

 

№3  На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 45] и Q = [40, 52].

Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ ( (x ∈ А) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение  Преобразуем выражение. Заменим импликации дизъюнкциями:

( ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ) ∨ ( ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q) )

Упростим это выражение, используя переместительный и сочетательный законы для дизъюнкции, а также закон поглощения. Получим:

 ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ P)  ∨  ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q)

 ¬(x ∈ А)  ∨  ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q)  ∨ (x ∈ P)

  ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q)  ∨ (x ∈ P)

Последнее утверждение тождественно  истинно тогда и только тогда, когда A ⊆ P ∪ Q. Наибольший такой отрезок - это отрезок [25, 52]. Его длина равна 52-25=27.

Ответ 27

 

№4 На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 45] и Q = [40, 52].

Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) \/ ( (x ∈ Q) → (x ∈ A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Ответ  5

 

 

№5  На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [25, 36]. Известно, что границы отрезка A  - целочисленные точки и для отрезка A  формула

( (x ∈ А) →  (x ∈ P) )   ∧  ( (x ∈ Q) →  (x ∈ A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Сколько есть отрезков A, удовлетворяющих указанным выше условиям?

Решение  Первый элемент конъюнкции ( (x ∈ A) →  (x ∈ P) ) истинен для всех x, если A ⊆ P. Второй элемент конъюнкции ( (x ∈ Q) →  (x ∈ A) ) истинен для всех x, если Q ⊆ A. Таким образом, конъюнкция тождественно истинна тогда и только тогда, когда  Q ⊆ A ⊆ P. Поэтому левая граница отрезка A может находиться в одной из 6 точек – от 20 до 25, а правая граница отрезка A может находиться в одной из 15 точек  - от 36 до 50. Следовательно, существует 6*15 = 90 возможных отрезков, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ   90

 

№6   Множества A, P, Q состоят из натуральных чисел: при этом P = {6. 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60}, Q = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80}. Известно, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈  A) ) \/  (¬(x ∈  A) → ¬(x ∈  Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наименьшая возможная сумма элементов множества A?

Решение Формула тождественно истинна тогда и только тогда, когда (P  ∩ Q) ⊆  A  (см. задачу №4).  Поэтому наименьшая возможная сумма элементов множества A - это сумма элементов множества P  ∩ Q = {24, 48}, т.е. 24+48 =72.

Ответ  72

 

№7   Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&34 ≠ 0 → (x&22 ≠ 0 → x&А ≠ 0)

 тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Решение   Преобразуем выражение – заменим импликации дизъюнкциями. Получим:

¬(x&34 ≠ 0) ∨ (¬(x&22 ≠ 0) ∨ x&А ≠ 0)

Раскроем скобки и заменим отрицания неравенств равенствами:

 x&34 = 0 ∨ x&22 = 0 ∨ x&А ≠ 0               (*)

Имеем: 34 = 100010₂ и 22 = 10110₂.  Поэтому формула

x&34 = 0 ∨ x&22 = 0

ложна тогда и только тогда, когда двоичная запись числа x  содержит 1 хотя бы в одном из следующих двоичных разрядов: 100000 (32), 10000 (16), 100 (4) и 10 (2).

Чтобы формула (*) была истинна при всех таких x необходимо и достаточно, чтобы двоичная запись числа A содержала 1 во всех этих разрядах. Наименьшее такое число – это число 32+16+4+2 = 54.

Ответ   54

 

№8    Пусть m, n – натуральные числа. Через ДЕЛ(m, n) обозначим утверждение «m делится на n». Например, ДЕЛ(10, 2) истинно, а ДЕЛ(10, 3) ложно.

Для какого наименьшего натурального числа А формула

( ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 20) ) ∧  ( ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 30) )     (*)

 тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Решение   Конъюнкция тождественно истинна, если тождественно истинны оба ее члена. ко  Формула  ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 20)  тождественно истинна, если A кратно 20 (иными словами, A делится на 20). Аналогично, формула ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 30) тождественно истинна, если A кратно 30. Таким образом, A должно делиться и на 20, и на 30. Наименьшее такое число – это наименьшее общее кратное чисел 20 и 30 – число 60.

Ответ  60

 

№9 *  На числовой прямой даны четыре отрезка: P1 = [10, 20], P2 = [60, 90], Q1 = [17, 41] и Q2 = [42, 62].  Известно, что для отрезка A, формула

( (x ∈ A) → (x ∈ P1) ) ∨ ( (x ∈ A) → (x ∈ P2) ) ∧  ( (x ∈ A) → (x ∈ Q1) ) ∨ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q2) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение   Попробуйте решить самостоятельно

Ответ    3

 

№10*   Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4.

Сколько существует таких неотрицательных целых чисел А, что  формула

 ( (x&33 ≠ 0) → (x&А ≠ 0) ) ∧  ( (x& A ≠ 0) → (x&61 ≠ 0) )

 тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

 Решение.  Попробуйте решить самостоятельно

Ответ     🙂