Главная / 18 (в 2015 - 18, в 2014 - А10) / Выбор отрезка, для которого истинно универсальное высказывание. Более сложные задачи с решениями.

Выбор отрезка, для которого истинно универсальное высказывание. Более сложные задачи с решениями.

 №1            2          №3           №4           №5           №6            №7           №8           №9           №10

A10.1
На числовой прямой даны два отрезка: P = [21, 29]    и Q = [12, 42]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) /\ ( (x ∈ А) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Варианты ответов:
1) [7, 33]    2) [17, 33]    3) [7, 43]    4) [17, 43]
Решение:
Первый элемент конъюнкции ( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) истинен для всех x, если P ⊂ A. Второй элемент конъюнкции ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) ) истинен для всех x, если A ⊂ Q. Таким образом, конъюнкция тождественно истинна тогда и только тогда, когда P ⊂ A ⊂ Q. Этому условию удовлетворяет только отрезок [17, 33]   .
Ответ: [17, 33]    (вариант 2).

A10.2
На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16]    и Q = [10, 20]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Варианты ответов:
1) [5, 15]    2) [5, 25]    3) [5, 35]    4) [15, 35]
Решение:
Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈ А)) \/ ( ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Выражение ( ¬ (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) истинно для тех только тех x, которые либо лежат в P, либо не лежат в Q, иными словами – для x ∈ R, где R = (-∞, 15]∪(21, +∞). Выражение

(¬(x ∈ А)) \/ (x ∈ R)

тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊂ R. Этому условию удовлетворяет только отрезок [5, 15]   .
Ответ: [5, 1]    (вариант 1).

A10.3
На числовой прямой даны два отрезка: P = [14, 34]    и Q = [24, 44]   .
Выберите такой отрезок A, что формула
(x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Варианты ответов:
1) [15, 19]    2) [25, 29]    3) [35, 39]    4) [9, 45]
Решение:
Формула (x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда A∩P = A∩Q, т.е. A ⊂ (P∩Q) ∪((-P)∩(-Q)), где –X обозначает дополнение множества X. Этому условию удовлетворяет только отрезок [21, 29]   .
Ответ: [25, 29]    (вариант 2).

A10.4
На числовой прямой даны два отрезка: P = [54, 84]    и Q = [64, 94]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок.
Варианты ответов:
1) [25, 40]    2) [45, 61]    3) [65, 82]    4) [75, 83]
Решение:
Формула (x ∈ A) → ( (x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда A∩P = A∩Q, т.е. A ⊂ (P∩Q) ∪((-P)∩(-Q)), где –X обозначает дополнение множества X. Этому условию удовлетворяют отрезки [25, 40]    и [65, 82]   . Более длинный из них – отрезок [65, 82]   .
Ответ: [65, 82]    (вариант 3).

A10.5
На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 64]    и Q = [74, 94]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ P) → ( (x ∈ A) ≡ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок.
Варианты ответов:
1) [5, 33]    2) [25, 42]    3) [45, 71]    4) [65, 90]
Решение:
Формула (x ∈ P) → ( (x ∈ A) ≡ (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда P∩A = P∩Q. Т.к. P∩Q – пустое множество, то A не должно пересекаться с P. Этому условию удовлетворяют отрезки [5, 33]    и [65, 90]   . Более длинный из них – отрезок [5, 33]   .
Ответ: [5, 33]    (вариант 1).

A10.6
На числовой прямой даны два отрезка: P = [34, 84]    и Q = [44, 94]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

(x ∈ P) → ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок.
Варианты ответов:
1) [45, 60]    2) [65, 81]    3) [85, 102]    4) [105, 123]
Решение:
Формула (x ∈ P) → ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда P∩A P∩Q. Этому условию удовлетворяют все указанные отрезки. Наиболее длинный из них – отрезок [105, 123]   .
Ответ: [105, 123]    (вариант 4).

A10.7
На числовой прямой даны два отрезка: P = [30, 50]    и Q = [70, 90]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ Q) /\ ( (x ∈ А) ) → ( (x ∈ A) ) /\ ( (x ∈ P) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок.
Варианты ответов:
1) [25, 55]    2) [35, 66]    3) [45, 77]    4) [55, 98]
Решение:
Формула ( (x ∈ Q) /\ ( (x ∈ А) ) → ( (x ∈ A) ) /\ ( (x ∈ P) ) тождественно истинна тогда и только тогда, когда Q∩A P∩A. Так как множества Q и P не пересекаются, то это возможно только, если A∩Q=Æ. Это выполнено только для отрезков [25, 55]    и [35, 66]   . Более длинный из них – отрезок [35, 66]   .
Ответ: [35, 66]    (вариант 2).

A10.8
На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 26]    и Q = [30, 50]   .
Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если подходящих отрезков несколько, укажите наиболее длинный отрезок.
Варианты ответов:
1) [5, 15]    2) [8, 18]    3) [5, 55]    4) [20, 40]
Решение:
Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈ А)) \/ ( (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) (1)

Выражение ( (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P) истинно для тех только тех x, которые лежат в P∪Q. То есть выражение (1) эквивалентно

(¬(x ∈ А)) \/ (x ∈ P∪Q),

что эквивалентно

(x ∈ А) → (x ∈ P∪Q).

Последнее выражение тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊂ P∪Q. Этому условию удовлетворяет только отрезок [5, 15]   .

Ответ: [8, 18]    (вариант 2).

A10.9
На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16]    и Q = [30, 50]   .
Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
Варианты ответов:
1) 10     2) 20     3) 21     4) 30

A10.10
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40]    и Q = [30, 50]   .
Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
Варианты ответов:
1) 10     2) 20     3) 30     4) 40

 
 

2 Комментов

  1. ISLAM:

    Не понял честно говоря. Самый первый не понял. Откуда получился отрезок (18;31)? Почему именно 18 и 31?

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика