Главная / Банк задач. Информатика. / Логика и отрезки. Решения.

Логика и отрезки. Решения.

 

 

№1  На числовой прямой даны два отрезка: P = [23, 33] и Q = [18,28]. Определите возможную максимальную длину отрезка А, что обе формулы

(x ∉ P) ∧  (x ∈ A)
(x ∉ Q) ∧ (x ∈ A)

тождественно ложны, то есть принимают значение 0 при любом значении переменной х.

Решение

По условию нам надо, чтобы оба выражения были тождественно ложны. Они оба содержат конъюнкцию (“∧”.) Рассмотрим сначала выражение (x ∉ P) ∧  (x ∈ A). Оно ложно, когда (x ∈ P) или (x ∉ A), т.е., когда истинно (x ∈ P) ∨(x ∉ A), что эквивалентно (x ∈ A) →(x ∈ P) . Последнее выражение истинно для всех x тогда и только тогда, когда

A ⊆P (1.1)

Аналогично, из того, что тождественно ложно выражение (x ∉ Q) ∧ (x ∈ A), получаем

A ⊆Q (1.2)

Конъюнкция (1.1) и (1.2) эквивалентна

A ⊆P ⋂Q (1.3)

Из (1.3) следует, что максимальная длина отрезка A равна длине отрезка P ⋂Q = [23, 28], т.е. 28-23 = 5.

1

Ответ: 5.

 

№2  На числовой прямой даны два отрезка: P = [23, 37] и Q = [31 , 42]. Определите возможную максимальную длину отрезка А, что обе формулы

(x ∈ P) ∨  (x ∉ A)
(x ∈ Q) ∨ (x ∉ A)

тождественно истинны, то есть принимают значение 1 при любом значении переменной х.

Решение

По условию нам надо, чтобы оба выражения были тождественно истинны. Рассмотрим сначала выражение (x ∈ P) ∨(x ∉ A), что эквивалентно (x ∈ A) →(x ∈ P). Последнее выражение истинно для всех x тогда и только тогда, когда

A ⊆P (2.1)

Аналогично, для выражения (x ∈ Q) ∨ (x ∉ A), получаем

A ⊆Q (2.2)

Конъюнкция (2.1) и (2.2) эквивалентна

A ⊆P ⋂Q (2.3)

Из (2.3) следует, что максимальная длина отрезка A равна длине отрезка P ⋂Q = [31, 37], т.е. 37-31 = 6.

2

Ответ: 6.

 

№3  На числовой прямой даны два отрезка: Р = [25, 45] и Q = [15, 55]. Отрезок А таков, что логические выражения

(х ∈ P) → (х ∈ А)
(х ∈ А) → (х ∈ Q)

тождественно истинны, то есть принимают значение 1 при любом значении переменной х.
Какова максимальная возможная длина отрезка А?

Решение

По условию нам надо, чтобы оба выражения были тождественно истинны. Рассмотрим сначала выражение (х ∈ P) → (х ∈ А), которое истинно для всех x тогда и только тогда, когда

P ⊆A (3.1)

Аналогично, выражение (х ∈ А) → (х ∈ Q) истинно, когда

A ⊆Q (3.2)

Конъюнкция (3.1) и (3.2) эквивалентна

A ⊆ A ⋂Q = Q (3.3)

Из (3.3) следует, что максимальная длина отрезка A равна длине отрезка A=Q = [15, 55], т.е. 55-15 = 40.

3

Ответ: 40.

 

№4  На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 77] и Q = [33, 65]. Отрезок А таков, что логические выражения

(х ∈ А) → (х ∈ P)
(х ∈ Q) → (х ∈ А)

тождественно истинны, то есть принимают значение 1 при любом значении переменной х.
Какова минимальная возможная длина отрезка А?

Решение
См. решение задания №3.

Ответ: 32.

 

№5  На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 77] и Q = [33, 65]. Отрезок А таков, что логические выражения

(х ∈ А) → (х ∈ P)
(x ∉ Q) ∨ (x ∉ A)

тождественно истинны, то есть принимают значение 1 при любом значении переменной х.
Какова максимальная возможная длина отрезка А?

Решение
По условию нам надо, чтобы оба выражения были тождественно ложны. Рассмотрим сначала выражение (х ∈ А) → (х ∈ P). Оно истинно для всех x тогда и только тогда, когда

A ⊆P (5.1)

Второе выражение (x ∉ Q) ∨ (x ∉ A) эквивалентно (х ∈ А) → (x ∉ Q). Последнее истинно, когда

A ⊆¬Q, (5.2)

что значит

A ⊆ (-∞,33] ∨A ⊆ [65, +∞) (5.3)

Конъюнкция (5.1) и (5.4) эквивалентна

A ⊆(-∞,33] ⋂ P ∨ A ⊆[65, +∞) ⋂ P (5.4)

Из (5.4) имеем два возможных отрезка: A ⊆ [22,33] и A ⊆ [65,77] соответственно. Т. к. надо выбрать отрезок A так, чтобы его длина была максимальна, то нам подходит отрезок [65,77]. Получаем, что максимальная длина отрезка A равна длине отрезка [65, +∞) ⋂ P=[65,77], т. е. 77-65=12.

1

Ответ: 12.

 
 

0 Comments

Оставьте коммент первым.

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика