Главная / Темы / Логика. Основные сведения. / Множества. Основные сведения.

Множества. Основные сведения.

1. Множества и  их элементы.

Множества являются «основными» математическими объектами. Они лежат в основе всей математики, все математические объекты (числа, точки и другие) можно рассматривать как множества и их элементы. Вот основные свойства множеств и отношения между множествами и составляющими их  элементами («элемент» здесь общее слово для тех объектов, которые составляют множество; это могут быть яблоки, люди, гномы, числа, точки и т.д.).  Ниже при описании свойств и отношений множества обозначаются большими латинскими буквами, а их элементы – маленькими латинскими буквами .

Свойства:  "множество A - пустое", т.е. A не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается так:  Ø.

Отношения:

1) " x принадлежит  A", т.е. x является элементом множества A; синоним: x лежит в A.  Пример высказывания: " число ½ принадлежит множеству целых чисел". Это высказывание ложно. Принадлежность элемента множеству обозначается знаком ∈. Пример: "½∈Z " (здесь  Z обозначает множество целых чисел).

2) "A - подмножество  B" (синонимы: "A включено в B ", " A - часть B"). Смысл: каждый элемент первого множества одновременно является и элементом второго множества. Пример: "множество натуральных чисел - подмножество множества целых чисел"; это высказывание истинно. Отношение "быть подмножеством обозначается знаком ⊆ . Пример: "N ⊆ Z" (здесь  N обозначает множество натуральных чисел, а Z обозначает множество целых чисел).

2. Операции над множествами.

Основные операции над множествами - это объединение (обозначение: ∪ B), пересечение (обозначение: A ∩ B), и разность (обозначение: A \ B), .  Часто удобно считать, что все рассматриваемые в задаче множества являются подмножествами одного универсального множества U. В зависимости от решаемой задачи в качестве универсального множества может выступать множество всех целых чисел, множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости и т.п. Разность между универсальным множеством и данным множеством называется дополнением множества A.   

3. Операции над множествами и логические операции.

Логические выражения над элементарными высказываниями о множествах (высказывания вида "A=∅", "xA"  "AB" )  можно преобразовывать, используя не только общие правила преобразования логических выражений, но и свои правила, связанные со свойствами операций над множествами. Ниже U - это универсальное множество; - его произвольный элемент, A, B, X - множества.  Верны следующие утверждения.

1. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых x, A, B (это обозначено знаком ⇔)

             1а) (xA)∧(xB) ⇔ xAB

             1б) (xA)∨(xB) ⇔ xAB

1в) ¬(xA) ⇔ xU\A

1г)  (xA)∧ (¬(xB)) ⇔ xA\B

2. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых X, A, B (это обозначено знаком ⇔)

             2а) (X∩A  ≠Ø ) ∨ (X∩B  ≠Ø ) ⇔ (X∩ (AB)  ≠Ø )

             2б) (X∩A  = Ø ) ∧ (X∩B  = Ø ) ⇔ (X∩ (AB)  = Ø )

  3.  (а) Пусть A ⊆ B, т.е.  A - подмножество B; x - элемент универсального множества U. Тогда истинно высказывание:

 (x ∈ A) → (x∈ B) 

(б) Пусть высказывание (x ∈ A) → (x∈ B)  истинно при любом x ∈ U. Тогда  A ⊆ B.

4.  (а) Пусть A ⊆ B, т.е.  A - подмножество B; X ⊆  U - произвольное множестваТогда истинно высказывание:

(X∩A  ≠Ø )  (X∩B  ≠Ø )

(б) Пусть высказывание (X∩A  ≠Ø )  (X∩B  ≠Ø )  истинно для любого множества X ⊆  U. Тогда  A ⊆ B.

5. Следующее высказывания истинны для любых множеств A, B, X

( (X∩A  ≠ Ø ) ∧ (X∩B  = Ø ) ) → (X∩ (B)  ≠  Ø )


4. Подсчет количества элементов в пересекающихся множествах.

См. здесь

 
 

0 Comments

Оставьте коммент первым.

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика