Элементарные высказывания

1.1.Первые примеры. Истинные и ложные высказывания.

Утверждения (они же: высказывания) об объектах окружающего мира строятся из элементарных  высказываний. Такие высказывания утверждают что-то о свойствах объекта или об отношениях между объектами (чаще всего – двумя).

Примеры.

1. Забор красный. Здесь забор – объект, а красный описывает его свойство. «красный» (иногда говорят – свойство «быть красным»).  Имеется в виду конкретный забор, а не забор вообще!  В русском языке свойства часто (но не всегда) выражаются прилагательными.
2. Коля и Петя – друзья. Здесь Коля и Петя – «объекты», а слово друзья описывает отношение между ними. Это отношение симметрично – смысл сказанного не поменяется, если написать   «Петя и Коля – друзья». Здесь, как и во всех элементарных высказываниях, имеются в виду конкретные люди.
3. Коля старше, чем Петя. Здесь отношение описывается словами «старше, чем». Это отношение не является симметричным.

Высказывание может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Например, Коля может на самом деле быть старше, чем Петя (тогда высказывание 3 истинно). А, может быть, Коля младше Пети, или они одного возраста. Тогда это высказывание ложно.

 1.2. Объекты, свойства и отношения в математике.

В математике мы имеем дело с математическими объектами, их свойствами и отношениями. Примеры математических объектов: числа: натуральные, целые, рациональные (они же - обыкновенные дроби), вещественные; точки, прямые,  множества. Вот примеры свойств, отношений и высказываний для целых чисел (при описании свойств и отношений вместо чисел стоят многоточия…) .

Свойства: … - четное; … - нечетное, … - положительное.

Примеры высказываний: (1) 4 – четное. (2)  4 – нечетное.  (3) 4 – положительное.  Здесь первое и третье высказывание истинны, а второе – ложно.

Отношение: …больше, чем …; … меньше, чем…;  … делится на … .

Примеры высказываний: (1) 4 больше, чем 2. (2)  4 меньше, чем 2.  (3) 4 делится на 2.  Здесь тоже первое и третье высказывание истинны, а второе – ложно.

В математике отношения часто записываются специальными знаками. Например, 6 < 3. 

1.3.  Множества и их элементы.

Множества являются «основными» математическими объектами. Они лежат в основе всей математики, все математические объекты (числа, точки и другие) можно рассматривать как множества и их элементы. Вот основные свойства множеств и отношения между множествами и составляющими их  элементами («элемент» здесь общее слово для тех объектов, которые составляют множество; это могут быть яблоки, люди, гномы, числа, точки и т.д.). При описании свойств и отношений множества обозначаются многоточиями ..., а их элементы – звездочками *** .

1.4.  Высказывания и выражения.

Вместо «прямого» обозначения, например, чисел в высказываниях можно использовать и выражения, значениями которых являются числа. Пример:

(2+ 3) < (2*3)

Смысл таких высказываний ясен: нужно вычислить значения выражений и получится уже знакомое нам высказывание о числах:

5 < 6

Это высказывание истинно. Точно так же можно использовать выражения, например, с множествами, используя, операции объединения, пересечения, разности, дополнения.

===