Главная / EГЭ по математике / B9 математика c ege.yandex.ru

B9 математика c ege.yandex.ru

B9.1        B9.2          B9.3          B9.4          B9.5          B9.6          B9.7          B9.8          B9.9          B9.10

B9.11      B9.12        B9.13        B9.14        B9.15        B9.16       B9.17          B9.18         B9.19         B9.20

B9.21      B9.22        B9.23        B9.24        B9.25        B9.26        B9.27        B9.28       B9.29        B9.30  

B9.31      B9.32       B9.33  

Справочные материалы от Д. Гущина 

 

№1

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, -2) и (5,8) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 5 – 0 = 5 (горизонтальная) и         8 – (-2) = 10 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 10/5 = 2

Ответ  2

№2   В какой точке отрезка [-5, -1] функция принимает наименьшее значение?

Решение. На рисунке изображен график производной.   Во всех точках отрезка [-5, -1] производная положительна, т.е. функция на отрезке монотонно растет. Значит, наименьшее значение функция принимает на левом краю отрезка – в точке -5.  

Ответ -5

№3   Решение. На рисунке изображен график производной.   Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-17 тогда и только тогда, когда производная равна 2. На графике видно, что график пересекает прямую y=2 в двух точках

Ответ 2

№4

Решение Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-6, 3) и (2, 7) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 2 – (-6) = 8 (горизонтальная) и         7 – 3 = 4 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 4/8 = 0,5

Ответ 0,5

№5
Решение. В точке касания графиков двух функций выполнены два условия. Во-первых, совпадают значения функций, во-вторых, совпадают значения производных. В данном случае это дает систему двух уравнений с одним неизвестным. Такая система не всегда имеет решение. Это и не удивительно: не всякая прямая имеет с данной кривой точку касания. Посмотрим, что будет в нашей задаче. 1)      Равенство значений функций:

3x+8 = x3+x2-5x -4

2)      Равенство значений производных:

3 = 3*x2 + 2x -5

  Решим второе уравнение.

3*x2 + 2x -8 = 0

D= 4+96 = 100= 102

x1 = (-2+10)/6 = 4/3;      x2 = (-2 -10)/6 = -2

Проверим, выполнено ли для этих значений аргумента условие равенства значений функций. Для x=4/3 условие не выполнено; для x =-2 – выполнено (и в том, и в другом убеждаемся подстановкой).

Ответ  -2

 

№6

Решение. Производная отрицательна там, где функция убывает, то есть график функции идет вниз. По условию задачи, нам интересуют пересечения графика с вертикальными линиями сетки. Таких точек на рисунке 4 . А именно: -5, -2, 2, 3.

Ответ  4

 

№7

Решение. На рисунке изображен график производной.   Экстремумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак. На отрезке [-4, 6] таких точек две.  

Ответ 2

 

№8 Решение. На рисунке изображен график производной.Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой  a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = -1. Точек, в которых значение производной равно -1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=-1) на рисунке 3.

Ответ  3

 

№9 Решение. На рисунке изображен график производной.Касательная к графику функции  f(x)   параллельна прямой  a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 0   [b = -20, но это для решения не важно]. Точек, в которых значение производной равно 0 (т.е. где график производной пересекает ось абсцисс) на рисунке 2.

Ответ 2

 

№10

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, 0) и (6, -3) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 0 = 6 (горизонтальная) и    (-3) – 0 = -3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-3)/6 =- 0,5

Ответ -0,5

 

№11

Решение. На рисунке изображен график производной.   Минимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с минуса на плюс. На отрезке [-6, 8] такая точка одна.

Ответ 1

 

№12

Решение.Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-5, -5) и (1, -2) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 1 – (-5) = 6 (горизонтальная) и    (-2) – (-5) = 3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны положительна, т.к. большему значению абсциссы соответствует большее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = 3/6 = 0,5

Ответ 0,5

 

№13

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (-4, -4) и (4, -6) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – (-4) = 8 (горизонтальная) и    (-6) – (-4) = -2 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-2)/8 =- 0,25.  

Ответ  - 0,25

.

 

№14

Решение. На рисунке изображен график производной.Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой  a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 1. Точек, в которых значение производной равно 1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=1) на рисунке 4.

Ответ 4

 

№15

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (3, 6) и (6, 0) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 3 = 3 (горизонтальная) и    0 – 6 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2.

Ответ -2

 

№16

Решение. На рисунке изображен график производной.   Максимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с плюса на минуса. На отрезке [-12, 7] таких точек три. 

Ответ  3

 

№17

Решение  На рисунке изображен график производной.   Экстремумам исходной функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0.  На отрезке [-9, 7] таких точек четыре.

Ответ  4

Пояснение. Это точки -8, -3, 3 и 5.  В точках -8 и 3 слева от  точки (то есть, при меньших значениях x)  значение производной положительно, а справа от точки (то есть, при больших значениях x)  значение производной отрицательно. Значит, до точки функция растет, а после точки - убывает. Таким образом, точки -8 и 3 - это точки максимума. Аналогично можно понять, что точки -3 и 5 - точки минимума.

 

№18

  Решение Пусть прямая y = 5x-7 касается графика функции y = 6x2 + bx -1  в точке x= t. Это означает, что: 1)    Производная к  функции y = 6x2 + bx -1  в точке x= tимеет значение 5; 2)    Значения 5t- 7 и 6t2 + bt -1 равны. Учитывая, что (6x2 + bx -1)’ = 12x-b, получаем систему уравнений c двумя неизвестными b, t: 12t+b= 5                             (1) 6t2 + bt -1 = 5t– 7                 (2) Решим эту систему. Из (1) находим: b = 5 – 12t. Подставляем в (2):

6t2 + (5 – 12t)*t -1 = 5t – 7

6t2 + 5t – 12 t2  -1 = 5t – 7

6t2 = 6

t= 1 или t = -1.

По условию,  t < 0, следовательно, t = -1. Из (1) получаем:

12*(-1)  + b = 5

 b = 5 + 12 = 17

 

Ответ  17

 

№19

 Решение Из рисунка видно, что угловой коэффициент касательной равен -1/4 = -0.25

Ответ -0.25

 

№20 Решение Производная обращается в 0 в точках локальных экстремумов, т.е. локальных минимумов и максимумов. На рисунке таких точек шесть: x= 0 (максимум); x= 1 (минимум); x= 2 (максимум); x= 3 (минимум); x= 5 (максимум); x= 9.5 (минимум);

Ответ: 6

Замечание.  Производная элементарной функции обращается в 0 в точках, где касательная параллельна оси Ox. Это не обязательно точки экстремумов. Например, производная функции y = x3 равна 0 при x = 0, но ни минимума, ни максимума в этой точке нет. Но в этой задаче таких  точек нет.

 

 
№21

Найдите касательную к графику функции y=x2+6x−7, параллельную прямой y=5x+11. В ответе укажите абсциссу точки касания.

Решение    Касательная к графику функции y = f(x) в точке x0это прямая с уравнением вида y = f’(x0)*x+b, где  b– число. [ Это число можно найти, учитывая, что касательная проходит через точку (x0, f(x0)), но в этой задаче нам нужно найти только абсциссу точки касания]. В нашем случае f(x) = x2+6x−7. Поэтому

f’(x0) = 2*x0 + 6.

Две прямые y = a1*x + b1 иy = a2*x + b2 параллельны тогда и только тогда, когда a1 = a2 Так как наша касательная параллельна прямойy=5x+11, то для абсциссы точки касания получаем уравнение:

2*x0 + 6 = 5

            Отсюда  x0 = (5-6)/2 = -0.5

Ответ -0.5

 

№22 На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых точек интервала (−2;11), в которых производная функции f(x) положительна.

Решение. Производная f’(x) положительна в тех точках, в которых функция y = f(x) возрастает. Согласно рисунку, на интервале (-2, 11) таких точек 4: точки 1, 2, 3 и 4.

Ответ:4

 

 

№23

На рисунке изображен график функции y=f′(x) на интервале (−16;4).
На отрезке [−11;0] найдите количество точек максимума функции.

Решение. Точка максимума функции y = f(x) – это такая точка, в которой производная f’(x) обращается в 0, причем при переходе через эту точку знак производной меняется с плюса на минус. Согласно рисунку, на отрезке [-11, 0] есть одна такая точка: x = -5.

Ответ:1

Замечание. Точка x = -12 – тоже точка максимума, но она лежит за пределами указанного в задаче отрезка.

 

 

№24 На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−1;13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение. Производная f’(x) положительна в тех точках, в которых функция y = f(x) возрастает. Согласно рисунку, на интервале (-1, 13) таких точек 4: точки  1, 2, 3, 5.

Ответ: 4

 

№25

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−4;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение. Производная f’(x) отрицательна в тех точках, в которых функция y = f(x) убывает. Согласно рисунку, на интервале (-4, 10) таких точек 4: точки 1, 2, 3 и 4.

Ответ:4

 

№26

B8-26

Решение На рисунке - график производной функции f(x). Если не вдаваться в детали, функция убывает в тех точках, в которых производная отрицательна. На рисунке видно, что есть ровно две таких целых точки: x= 5 и x=6. Сумма чисел 5+6 = 11.

Замечание.  Кроме точек, в которых производная отрицательная, дифференцируемая функция f(x) [то есть, функция, у которой во всех точках есть производная] убывает еще и в таких точках, в которых f'(x)=0 и при этом f'(x)<0 слева и справа от точки x. Так обстоит дело, например, с функцией y = x3 при x = 0. На рисунке, к счастью, :) таких точек нет.

Ответ: 11

 

№27

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=-14t^4+7t^3+7t^2-7t+15\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени t=2с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Решение. Нужно найти значение производной \(x'(t)\) при \(t = 2\) [В условии «t=2c» означает, что нужна скорость через 2 секунды от начала отсчета]. Имеем: \(x'(t) = -56 t^3 + 21 t^2 + 14 t - 7\), \(x'(2) = -56 \times 8 + 21 \times 4 + 14 \times 2 - 7 = -347.\)

Ответ: -347

 

№28

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент)  касательной в точке x0.  Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (1, 1) и (4, -5) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – 1 = 3 (горизонтальная) и    (-5) – 1 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2.

Ответ -2

 

№29

29 Решение. Точка, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс – это такая точка, в которой производная f’(x) обращается в 0 и при переходе через которую производная f’(x) меняет знак. На рисунке такая точка одна: x = 4.

Ответ:4

Замечание.  На всякий случай напомним. Если знак производной f’(x) при переходе через точку a меняется с плюса на минус, то точка a – точка максимума функции  f(x). Если с минуса на плюс – точка минимума. На рисунке точка 4 – точка максимума.

 

№30

30 Решение. Согласно графику, на всем отрезке [-1, 3] значение производной f’(x) отрицательно. Значит, на всем этом отрезке функция y = f(x) монотонно убывает. Поэтому минимальное значение она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3

 

№31

31 Решение. Точка экстремума функции y = f(x) – это такая точка, в которой производная f’(x) обращается в 0. На отрезке [-7, 1] (и вообще на рисунке) такая точка одна: x = -2.

Ответ: 1

 

 

№32

32 Решение. Так как F(x) – первообразная функции y = f(x), то F’(x) = f(x). На участке [4, 6] выполнено: f(x) = F’(x) =2. Поэтому на этом участке F(x) = 2x+c, где c – некоторая константа. То есть, F(6) – F(4) = (2*6+c) – (2*4+c) = 12-8 = 4

Ответ:4

 

№33

33 Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции y = f(x) на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка F(b)-F(a). В нашей задаче имеем: S =  (-43 +7,5*42 – 12*4 + 8,5)  -  (-13 +7,5*12 – 12*1 + 8,5)  = = (8 + 8,5)  - (-5,5 + 8, 5) = 8+5,5 = 13,5.

Ответ: 13,5

 
 

46 Комментов

  1. Tim:

    №27 не верно показано решение

  2. Помогите пожалуйстаа! №30
    На рисунке изображен график функции y=f′(x) на интервале (−2;9). Найдите точку отрезка [−1;3], в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

    Почему ответ 3??? Как это решить???
    Я думала, что надо смотреть по оси ординат, но тогда получается -3...
    Я не понимаю, что, куда и как..

  3. катя:

    подскажите как решать №32? с первообразными функции!

  4. Никита:

    А почему считаем количество целых точек , по пересечению графика с вертикальными осями ? Заранее спасибо

    • editor:

      Потому, что на графике ТОНКИЕ вертикальные и горизонтальные линии проведены через целочисленные точки (Линии осей - более толстые и на них есть стрелки). Так часто делают.
      Удачи!
      Пиши еще :)

  5. вадик:

    а в 26номере точно 5+6=11 или 0+1+3+4+5=13 в точке 6 она же возростает

  6. Помоги разобраться со №2, пожалуйста. Не могу понять почему минимальное значение в точке - 5, а почему не -1?

    • editor:

      Напиши подробнее пож - что именно тебе непонятно в решении.А то непонятно, что объяснять.:) Я попробую, напиши потом - чтало ли яснее.

      На рисунке изображен график ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f. Его минимальное значение действительно в точке -1. А спрашивается - про минимальное значение САМОЙ ФУНКЦИИ f. Так как производная на отрезке [-5, -1] положительна (см. рисунок), то функция на этом отрезке РАСТЁТ. Поэтому наименьшее значение будет в наименьшей точке отрезка - точке -5.
      Напиши пож - разобралась?
      Удачи!

  7. Светлана:

    а какой ответ в №27?

  8. Сергей:

    в 28 ответ -0,5

    • editor:

      Не-не! Ответ: -2. При УВЕЛИЧЕНИИ аргумента на 1 касательная ОПУСКАЕТСЯ (поэтому минус) на 2. Если бы производная была 0.5, касательная опускалась бы на пол-клетки. То есть опускалась бы на 1 клетки, когда x увеличивается на 2.

  9. Рисунок к задаче 13 некорректен. Касательная не проходит через точку (-4; -4), в этом легко убедиться, посмотрев в левую часть графика. Прямая проходит явно выше точки (-6; -3,5).

    То же самое и в других подобных задачах.

    • editor:

      Эти рисунки взяты с сайта ege.yandex.ru. По смыслу все решения правильные, ответы совпадают с ответами на ege.yandex.ru. Задача нашего сайта - помочь ученикам разобраться с математикой, этому рисунки не мешают.

  10. Почему в 6 задании ответ 4 а не 3?
    с точками -5;-2; все ясно но почему еще 2 отрицательных промежутка вместо одного.
    Я думаю ответ -5;-2;2
    Помоги разобраться

    • editor:

      На всякий случай повторяю решение, которое приведены выше на странице:"Производная отрицательна там, где функция убывает, то есть график функции идет вниз. По условию задачи, нам интересуют пересечения графика с вертикальными линиями сетки. Таких точек на рисунке 4 . А именно: -5, -2, 2, 3".
      Попробую немного подробнее. На рисунке есть 3 интервала убывания функции (границы интервалов дана приблизительно): (-5.8, -4.2); (-2.7, -1,2); (1.5, 3.5). Первые два интервала содержат по одной целочисленной точке (а именно, точки -5 и -2), а третий - две целочисленные точки: 2 и 3. Стало понятно?
      Контрольные вопросы:
      1. Сколько есть целочисленных точек, в которых производная f'(x) положительна?
      2. Сколько есть целочисленных точек, в которых производная f'(x) равна 0?

  11. АЛЕКСАНДР:

    я не понял почему в 26 получается 11 у меня получилось 13
    0+1+3+4+5=13
    поясните пожалуйста

  12. Максим:

    может в 10-м ответ -2, а не -0,5? ведь тангенс- это отношение противолежащего катета к прилежащему.

    • Максим:

      извиняюсь. не тот угол рассмотрел

      • Как вариант, проверки, можете использовать формулу с явными точками (явные точки - это точки у которых координаты явно известны). Краткое теоретическое сведение:
        f`(x0)=k=tgα
        1)f`(x0) – этот значение производной в точке касания
        2)k – это угловой коэффициент
        3)tgα – это тангенс угла наклона касательной
        Формула tgα: tgα=(y2- y1)/( x2- x1);
        В нашем случае:
        tgα=(-3-0)/(6-0)=-1/2=-0.5
        Ответ: -0.5

  13. Диана:

    Огромное спасибо)

  14. В 17 задании ответ 4

  15. Наби:

    не понял чего там требуется

  16. Наби:

    Спасибо огромное. Хотелось бы увидеть решение В20

  17. Женька:

    в школе не понял эту тему, тут почитал, теперь знаю немного больше

    • editor:

      Спасибо на добром слове :) Ты пробовал решать задачи сам? Будут вопросы - пиши. Успехов!

  18. Илья:

    Очень много вообще неправильных ответов, только путаете учеников!

    • editor:

      Напишите, что неправильно пож. Перепроверил B8 - ошиюок не нашел.
      Кроме того - важно решение, правильные ответы есть на ege.yandex.ru, можно свериться.
      А последний день - он и есть последний день. Ошибки неизбежны, но не думаю, что их много и они кого-то сбили с толку.

    • Наби:

      нет у них ошибок

  19. сергей:

    с какой это радости? докажи

    • editor:

      ПО поводу №9. Ученики всех школ, ИЗВИНИТЕ!
      Только сейчас понял, о чем речь.
      Ответ (2 точки) правильный, а решение по ошибке вставили от другой задачи :( Решение исправлено. Виновные понесли наказание :)

  20. Валет:

    Валет :D производная 20 равна нулю следовательна линия графика пройдёт по нулю и 2 точки жи есть

  21. Кирилл:

    В задании №9 правильный ответ 7

    • Кирилл, я совершенно с вами согласен, в задании №9 правильный ответ 7, так как, на данном графике производная имеет 7 точек перелома f(x)=0, следовательно, и точек в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-20, “7”. Проведя лёгкое прелиминарное рассуждение, и навскидку обозначив прямую линию из y=-20, можно детерминировать ответ 7.

      • editor:

        "Кирилл, я совершенно с вами согласен,". А зря! :) Нас интересуют не точки экстремумов графика производной, а точки, где производная обращается в 0.
        Посмотрите еще раз решение, пож. Для удобства повторяю его здесь:
        Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 0 [b = -20, но это для решения не важно]. Точек, в которых значение производной равно 0 (т.е. где график производной пересекает ось абсцисс) на рисунке 2.

        • editor, sorry! Если что не правильно сказал, просто нас в школе так учат....)

          • editor:

            Нет проблем :) Сайт для того и сделан, чтобы разбираться. Теперь все понятно с №9? Если что - пиши(те)

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика