Задание 16. Ответы и решения
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
16.1 ( ege.yandex.ru-1) Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
Решение 1: Пусть N – искомое основание системы счисления. Так как запись числа 63 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры, то N2.<= 63 <N3 . Этому условию удовлетворяют числа N = 4, 5, 6, 7, 8. Так как запись числа 63 в позиционной системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то N – делитель числа 63. Следовательно, N = 7.
Замечание. Можно сделать проверку – записать число 63 в 7-чной системе счисления. Имеем:
63:7 = 9 (ост 0); 9:7 = 1 (ост 2) 1:7 = 0 (ост 1) Вывод: 6310=1207Решение 2: Пусть N – искомое основание системы счисления. Тогда
N2+2N = 63
Решая квадратное уравнение находим два корня: 7 и -9. Так как N>1. получаем: N=7.
Ответ: 7
16.2 ( ege.yandex.ru-2) Запишите десятичное число 100 в системе счисления с основанием 9.
Решение : Последняя цифра записи числа X в N-чной системе счисления равна остатку от деления X на N, а число, которое получится, если в N-чной записи числа X стереть последнюю цифру, равно частному от деления X на N, записанному в N-чной системе счисления. Таким образом, для перевода числа X в N-чную систему можно поступать так.
Найдем остаток R0 и частное X1 от деления числа X на N (числом X0 мы считаем само число X). Цифра R0 будет последней цифрой N-чной записи числа X, а предшествующие ей цифры этой записи образуют N-чную запись числа X1. Поэтому, чтобы найти вторую справа цифру N-чной записи числа X, достаточно найти остаток R1 от деления X1 на N и т.д. Эта процедура повторяется до тех пор, пока в частном не получится 0.
Переведем число 100 в 9-чную систему счисления. Имеем:
100:9 = 11 (1 ост) 11:9 = 1 (2 ост) 1:9 = 0 (1 ост). Вывод: 10010 = 1219Ответ: 121
16.3 ( ege.yandex.ru-3) Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определите основание системы счисления.
Решение 1: Пусть N – искомое основание системы счисления. Так как запись числа 57 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры, то N2.<= 63 <N3 . Этому условию удовлетворяют числа N = 4, 5, 6, 7. Так как запись числа 57-2 =55 в позиционной системе счисления основанием N имеет вид 210, т.е. заканчивается на 0, то N – делитель числа 55. Следовательно, N = 5.
Замечание. Можно сделать проверку – записать число 57 в 5-чной системе счисления. Имеем:
57:5 = 11 (ост 2); 11:5 = 2 (ост 1) 2:5 = 0 (ост 2) Вывод: 5710=2125Решение 2: Пусть N – искомое основание системы счисления. Тогда
2N2+N +2 = 57
Решая квадратное уравнение находим два корня: 5 и -11. Так как N>1. получаем: N=5.
Ответ: 5
16.4 ( ege.yandex.ru-4) Запись числа 1110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение: Так как запись числа 1110 в системе счисления с основанием N содержит 4 цифры, то N3.<= 11 <N4 . Этому неравенству удовлетворяет только число: 2.
Замечание. Можно сделать проверку – записать число 11 в 2-чной системе счисления. Имеем:
11:2 = 5 (ост 1); 5:2 = 2 (ост 1) 2:2 = 1 (ост 0) 1:2 = 0 (ост 1) Вывод: 1110 = 10112Ответ: 2
16.5 ( ege.yandex.ru-5) Запись числа 7710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0. Чему равно наименьшее возможное основание этой системы счисления N?
Решение: Так как запись числа 7710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0, N является делителем числа 77, отличным от 1. Наименьшим из таких чисел является число 7.
Ответ: 7
16.6 Запишите десятичное число 49 системе счисления с основанием 6.
Ответ: 121
16.7 Десятичное число 143 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
Ответ: 11
16.8 Десятичное число 80 в некоторой системе счисления записывается как 62. Определите основание системы счисления.
Ответ: 13
13 комментариев
Как определить все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4 ?
Если запись числа в системе счисления с основанием M оканчивается на 4, значит наше число равно k*M + 4, т.е. даёт остаток 4 при делении на M. Например, при делении 22 на 6 получается 3 (и 4 в остатке), значит основание M=6 подходит для записи числа 22 согласно условию задачи. Предлагаю вам самостоятельно найти все подходящие основания.
Как найти последнюю цифру числа 9^63+2^39
Нужно найти последние цифры по отдельности.
1) Для начала надо заметить, что последняя цифра числа \(\) зависит только от последней цифры числа \(\) (а не предпоследней и так далее).
2) \(\), \(\), \(\), \(\).
3) Как видно, в последней цифре степеней девятки есть цикл: \(\). Таким образом можно вычислить последнюю цифру для любой степени девятки.
4) Для всех других чисел аналогично.
Вопрос перенесен с 2012.ege-go.ru
Гегемон
21.05.2013 в 9:39 пп
Здравствуйте! Вопрос по заданию B7.1:
число 43 может быть основанием системы или нет? То есть, число будет представлять из себя 1 20. Число будет содержать две 43-ных цифры вместо 3-х 7-ных цифр. Разве такого не может быть?
Ответ.
Хороший вопрос.Не сразу понял, о чем речь. Но все же догадался.:) В задаче имеется в виду, что цифры имеют обычный смысл. То есть, если используется система счисления с основанием больше 10, то для записи цифр, имеющих значение больше 9, используются особые знаки. Например, в 16-чной системе цифра со значением 10 обозначается буквой A, цифра со значением 11 - буквой B и т.д. По такой схеме в 43-чной системе счисления число 63 запишется 1K. Двумя значками цифры изображать не принято. Хотя и можно - если использовать разделители. Например, пробелы - как у Вас: 1 20. А если без пробелов, то непонятно, что, например, означает 120 в 43-чной системе: 1*43^2 + 2*43 + 0*1 = 1915, 1*43 + 20*1 = 63 или 12*43 + 0*1 = 516. А вообще на эту тему можно придумать задачу 🙂
почему в B8.1 уравнение N^2+2N=63 a в B8.3 2N^2+N+2=57
Потому, что в B8.1 у нас число 120, а в B8.3 - число 212.
Число, которое в N-чной системе записывается 120, - это число 1*N^2 +2*N^1 +0*N^0 = N^2 +2N
Число, которое в N-чной системе записывается 212, - это число 2*N^2 +1*N^1 +2*N^0 = 2N^2 +N
Посмотри про системы счисления http://ege-go.ru/temy/sistemy-schisleniya/
Или просто устал? Тогда лучше отдохнуть перед экзаменом 🙂 Удачи!
Спасибо. Объяснение не очень, но и так сойдет.
Пожалуйста. А что тебе не понравилось? Трудно было понять? Можешь улучшить?
В B8.3 опечатка! там написано "Замечание. Можно сделать проверку – записать число 63 в 7-чной системе счисления." а должно быть "Замечание. Можно сделать проверку – записать число 57 в 5-чной системе счисления." Знаю мелочь, но всё же =)
Это не мелочь 🙂 Спасибо! Исправил
В B8.4 Перепутан порядок цифр в двоичной записи числа 11. 11 в двоичной - 1011
Спасибо, Анна! Опечатка исправлена.
Удачи!