Системы счисления, задачи ege.yandex.ru. Решения
Решения в старом формате (с выбором вариантов ответов) можно посмотреть по ссылке.
№1 (ege.yandex.ru-1) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 514?
Решение
514 = 512+2 =
= 29 + 21 =
= 1*29 +0*28 +0*27 +0*26 +0*25 +0*24 +0*23+0*22 + 1*21 +0*20 (*)
Поэтому двоичная запись числа 51410 содержит 10 разрядов. Эти разряды будем нумеровать справа налево, начиная с 0. Самый правый разряд (последний, если считать слева) – нулевой, второй справа (предпоследний) – первый, …, самый левый (восьмой справа) – седьмой справа. При записи чисел в двоичной системе k-й разряд соответствует коэффициенту при 2k при разложении числа в сумму по степеням числа 2. В разложении (*) только два коэффициента равны 1. Поэтому и единиц в двоичной записи числа 514 будет две.
Ответ: 2
№2 (ege.yandex.ru-2) Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 254?
Решение
254 = 255-1. В двоичной записи числа 255 все единицы. В двоичной записи числа 254 все единицы, кроме разряда единиц (нулевого разряда). В этом разряде стоит нуль.
Ответ: только 1 нуль.
№3* (ege.yandex.ru-3) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 243?
Решение
243 — это 3 в пятой степени. Такое число в троичной системе счисления записывается единицей, за которой следуют 5 нулей.
243 = 35 =
= 1*35 +0*34 +0*33+0*32 + 0*31 +0*30 (*)
Таким образом, троичная запись числа 24310 содержит одну единицу.
Ответ: 1
№4 (ege.yandex.ru-4) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 1040?
Решение
1040 = 1024+16 = 210 + 24. Поэтому двоичная запись числа 1040 содержит две единицы (в десятом и четвертом разрядах). Цифры в остальных 9 значащих разрядах – нули.
Ответ: 2
№5* (ege.yandex.ru-5) Сколько нулей в троичной записи десятичного числа 242?
Решение
242 = 243-1 = 35 – 1. Запись числа вида kn в k-чной системе счисления записывается n одинаковыми цифрами; каждая цифра – это цифра, которая обозначает величину k-1. Например, 103 – 1 = 1000-1 = 999 (здесь k=10; n=3). Поэтому 242 = 243 -1 = 35 – 1 =222223. Эта запись не содержит нулей (а также единиц).
Ответ: 0
№6 Сколько цифр в двоичной записи десятичного числа 243?
Решение
Число 243 находится между 27 = 128 и 28 -1 = 255. Поэтому двоичная запись числа 243 содержит 8 цифр.
Ответ: 8
№7 (ege-yandex.ru-8) Ниже приведены 4 числа, заданные в различных системах счисления. Укажите среди них то, в двоичной записи которого содержится 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите большее из них.
1) 1510 2) 778 3) 3458 4) FA16
Решение
Запишем данные числа в 2-чной системе счисления.
1) 1510 = 11112; 2) 778 = 1111112;
3) 3458 = 111001012; 4) FA16= 111110102;
Пять единиц содержится только в двоичной записи числа 3458.
Ответ: 3458.
Разбор решения. Чтобы решить эту задачу нужно уметь переводить числа из восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системы счисления в двоичную. Общие правила перевода можно посмотреть здесь. Но полезно знать и случаи, когда перевод в двоичную систему можно выполнить проще.
- Перевод из 8-чной системы в двоичную. Каждая 8-чная цифра переводится в тройку двоичных цифр:
0 –> 000; 1->001; 2 -> 010; 3 -> 011; 4 –> 100; 5-->101; 6 -> 110; 7 -> 111;
Восьмеричное число, состоящее из нескольких цифр переводится цифра за цифрой; при этом каждая цифра переводится отдельно. Это связано с тем, что 8 = 23. [Непонятно – задавайте вопросы!] Вот три примера (в двоичной записи дано разбиение на тройки; первая тройка может быть неполная – убраны нули в начале числа):
1) 778 = 111 1112; 2) 3458 = 11 100 1012; 3) 1018 = 1 000 0012
- Перевод из 16-чной системы в двоичную выполняется аналогично. Только, так как 16 = 24, каждая 16-чная цифра переводится в не в тройку двоичных цифр, а в четверку. Вот двоичные коды 16-чных цифр.
0 –> 0000; 1->0001; 2 -> 0010; 3 -> 0011; 4 –>0100; 5-->0101; 6 -> 0110; 7 -> 0111;
8 –> 1000; 9->1001; A -> 1010; B -> 1011; C –>1100; D-->1101; E -> 1110; F -> 1111;
16-ичное число, состоящее из нескольких цифр переводится цифра за цифрой; при этом каждая цифра переводится отдельно. [Непонятно – задавайте вопросы!] Вот три примера (в двоичной записи дано разбиение на четверки; первая четверка может быть неполная – убраны нули в начале числа):
2) 7716 = 111 01112; 2) 30A16 = 11 0000 10102; 3) 10116 = 1 0000 00012; 4) FA16 = 1111 10102
3. Так как 10 не является степенью двойки, то перевод из 10-чной системы в двоичную более сложен, чем из 8-чной или 16-чной системы. Его нужно делать по общим правилам перевода чисел из одной системы счисления в другую (делим с остатком и т.п.). Однако для чисел, близких к степеням двойки (и некоторых других), перевод можно выполнить проще, чем обычно. Например,
1) 1610 = 24 = 100002; 2) 1710 = 24 + 1 = 100012; 3) 1910 = 24 + 3 = 100112;
4) 1510 = 24 – 1 = 11112; 5) 1410 = 24 – 2 = 24 – 1 - 1 = 11112- 1 = 11102
Упражнение 1. Переведите устно в двоичную систему такие десятичные числа:
32, 33, 34, 35, 36, 37, 64, 63, 61, 60, 59, 510, 509, 1020, 1030.
Упражнение 2. Сколько единиц в двоичной записи числа 515? Сколько нулей? Сколько всего цифр?
Подсказка. Степени двойки:
20 = 1;
21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 =32; 26 = 64; 27 = 128; 28 = 256; 29 = 512; 210 = 1024;
211 = 2048; 212 = 4096
Ответы пишите в комментах. Удачи!
!!! Это - краткий конспект разбора задачи. Будут вопросы - напишем подробнее.
№8 Вопрос от читателя http://ege-go.ru/zadania/gra/a1/a1-ansv/comment-page-1/#comment-6329 : «Помогите пожалуйста решить:
Значение арифметического выражения: 9^12+3^8-27 - записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр "2" содержится в этой записи?»
Решение
Отвечаем шаг за шагом, но кратко. Если что – задавай дополнительные вопросы. Ниже: N – это наше число, N = 9^12+3^8-27.
- Перейдем к степеням числа 3. Получим:
N = (3^2)^12+3^8-(3^3) = 3^24 +3^8 – 3^3
- Выносим 3^3 за скобки:
N = 3^3*(3^21 +3^5 – 1)
- В троичной системе умножение на степень тройки означает добавление нулей в конце
[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – умножение на степень 10 в 10-чной системе].
Нас интересуют двойки. Поэтому достаточно посчитать количество двоек в 3-чной записи числа N1 = 3^21 +3^5 – 1.
Замечание. Ответь на вопрос: как из записи числа N1 в 3-ной системе счисления получить запись числа N в этой системе счисления?
- Число 3^k – 1 в 3-ной системе счисления записывается k двойками.
[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – в 10-ной системе счисления число 10^k – 1 записывается k девятками].
То есть, 3^5-1 записывается 5-ю двойками.
- Число 3^k в 3-ной системе счисления записывается единицей, за которой следуют k нулей.
[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – в 10-ной системе счисления число 10^k записывается k единицей, за которой следуют k нулей.].
То есть, 3^21 записывается единицей, за которой следует 21 нуль.
- Если к числу 3^21 прибавить число 3^5-1, то последние 5 нулей заменятся двойками. Остальные 16 нулей и единица (на 1-м слева месте) останутся без изменений (см. пп. 5 и 6).
- Итак: В 3-ной записи числа N1 = 3^21 +3^5 – 1 есть 5 двоек. Значит, и в 3-ной записи исходного числа N содержится ровно 5 двоек
Ответ: 5
Контрольные вопросы:
К1. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа N = 9^12+3^8-27?
К2. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа 9^12+3^7-9?
К3. Сколько нулей, единиц, двоек, троек и четверок в 5-ной записи числа 5^21+25^7-125?
К4. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа 9^12+3^7-9?
0 Comments
Оставьте коммент первым.