Системы счисления, задачи ege.yandex.ru. Решения

№1         №2         №3         №4         №5         №6         №7         №8 

Решения в старом формате (с выбором вариантов ответов) можно посмотреть по ссылке.

 

 

№1 (ege.yandex.ru-1) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 514?

Решение

514 = 512+2 =

= 2⁹ + 2¹ =

= 1*2⁹ +0*2⁸ +0*2⁷ +0*2⁶ +0*2⁵ +0*2⁴ +0*2³+0*2² + 1*2¹ +0*2⁰      (*)

Поэтому двоичная запись числа 514₁₀ содержит 10 разрядов. Эти разряды будем нумеровать справа налево, начиная с 0. Самый правый разряд (последний, если считать слева) – нулевой, второй справа (предпоследний) – первый, …, самый левый (восьмой справа) – седьмой справа. При записи чисел в двоичной системе k-й разряд соответствует коэффициенту при 2^k при разложении числа в сумму по степеням числа 2. В разложении (*) только два коэффициента равны 1. Поэтому и единиц в двоичной записи числа 514 будет две.

  Ответ: 2

 

№2  (ege.yandex.ru-2)  Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 254?

Решение 

254 = 255-1. В двоичной записи числа 255 все единицы.  В двоичной записи числа 254 все единицы, кроме разряда единиц (нулевого разряда). В этом разряде стоит нуль.

Ответ: только 1 нуль.

 

 

 

№3*  (ege.yandex.ru-3) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 243?

Решение

243 — это 3 в пятой степени. Такое число в троичной системе счисления записывается единицей, за которой следуют 5 нулей.

243 = 3⁵  =

= 1*3⁵ +0*3⁴ +0*3³+0*3² + 0*3¹ +0*3⁰      (*)

Таким образом, троичная запись числа 243₁₀ содержит одну единицу.

Ответ: 1

 

 

№4  (ege.yandex.ru-4) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 1040?

Решение

1040 = 1024+16 = 2¹⁰ + 2⁴. Поэтому двоичная запись числа 1040 содержит две единицы (в десятом и четвертом разрядах). Цифры в остальных 9 значащих разрядах – нули.

Ответ: 2

 

 

№5*  (ege.yandex.ru-5) Сколько нулей в троичной записи десятичного числа 242?

Решение

242 = 243-1 = 3⁵ – 1. Запись числа вида kⁿ в k-чной системе счисления записывается n одинаковыми цифрами; каждая цифра – это цифра, которая обозначает величину k-1. Например, 10³ – 1 =  1000-1 = 999 (здесь k=10; n=3).  Поэтому 242 = 243 -1 = 3⁵ – 1 =22222₃. Эта запись не содержит нулей (а также единиц).

Ответ: 0

 

 

№6 Сколько цифр в двоичной записи десятичного числа 243?

Решение

Число 243   находится между 2⁷  = 128 и 2⁸ -1 = 255. Поэтому двоичная запись числа 243 содержит 8 цифр.

Ответ: 8

 

 

№7 (ege-yandex.ru-8) Ниже приведены 4 числа, заданные в различных  системах счисления. Укажите среди них то, в двоичной записи которого содержится 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите большее из них.

1) 15₁₀                       2) 77₈                      3) 345₈                      4) FA₁₆

Решение

Запишем  данные числа в 2-чной системе счисления.

1) 15₁₀ = 1111₂;                      2) 77₈  = 111111₂;

3) 345₈ = 11100101₂;             4) FA₁₆= 11111010₂;

 Пять единиц содержится только в двоичной записи числа  345₈.

Ответ: 345₈.

 Разбор решения. Чтобы решить  эту задачу нужно уметь переводить числа из восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системы счисления в двоичную. Общие правила перевода можно посмотреть здесь. Но полезно знать и случаи, когда перевод в двоичную систему можно выполнить проще.

1. Перевод из 8-чной системы в двоичную. Каждая 8-чная цифра переводится в тройку двоичных цифр:

0 –> 000;  1->001;  2 -> 010;  3 -> 011; 4 –> 100;  5-->101; 6 -> 110;  7 -> 111;

Восьмеричное число, состоящее из нескольких цифр переводится цифра за цифрой; при этом каждая цифра переводится отдельно. Это связано с тем, что 8 = 2³. [Непонятно – задавайте вопросы!] Вот три примера (в двоичной записи дано разбиение на тройки; первая тройка может быть неполная – убраны нули в начале числа):

1)    77₈  = 111 111₂;  2) 345₈ = 11 100 101₂;  3) 101₈ = 1 000 001₂

1.  Перевод из 16-чной системы в двоичную выполняется аналогично. Только, так как 16 = 2⁴, каждая 16-чная цифра переводится в не в тройку двоичных цифр, а в четверку. Вот двоичные коды 16-чных цифр.

0 –> 0000;  1->0001;  2 -> 0010;  3 -> 0011; 4 –>0100;  5-->0101; 6 -> 0110;  7 -> 0111;

8 –> 1000;  9->1001;  A -> 1010;  B -> 1011; C –>1100;  D-->1101; E -> 1110;  F -> 1111;

16-ичное число, состоящее из нескольких цифр переводится цифра за цифрой; при этом каждая цифра переводится отдельно. [Непонятно – задавайте вопросы!] Вот три примера (в двоичной записи дано разбиение на четверки; первая четверка может быть неполная – убраны нули в начале числа):

2)    77₁₆  = 111 0111₂;  2) 30A₁₆ = 11 0000 1010₂;  3) 101₁₆ = 1 0000 0001₂;  4) FA₁₆ = 1111 1010₂

3. Так как 10 не является степенью двойки, то перевод из 10-чной системы в двоичную более сложен, чем из 8-чной или 16-чной системы. Его нужно делать по общим правилам перевода чисел из одной системы счисления в другую (делим с остатком и т.п.). Однако для чисел, близких к степеням двойки (и некоторых других), перевод можно выполнить проще, чем обычно. Например,

1) 16₁₀ = 2⁴  =  10000₂;   2) 17₁₀ = 2⁴ + 1 =  10001₂;  3) 19₁₀ = 2⁴ + 3 =  10011₂;

4) 15₁₀ = 2⁴ – 1 =  1111₂;    5) 14₁₀ = 2⁴ – 2 =  2⁴ – 1 - 1 = 1111₂- 1 = 1110₂

Упражнение 1. Переведите устно в двоичную систему такие десятичные числа:

32, 33, 34, 35, 36, 37, 64, 63, 61, 60, 59, 510, 509, 1020, 1030.

Упражнение 2. Сколько единиц в двоичной записи числа 515? Сколько нулей? Сколько всего цифр?

Подсказка. Степени двойки:

2⁰ = 1;

2¹ = 2;  2² = 4;  2³ = 8;  2⁴ = 16;  2⁵ =32;  2⁶ = 64;  2⁷ = 128;  2⁸ = 256;  2⁹ = 512;  2¹⁰ = 1024;

2¹¹ = 2048;  2¹² = 4096

Ответы пишите в комментах. Удачи!

!!! Это - краткий конспект разбора задачи. Будут вопросы - напишем подробнее. 

 

 

№8 Вопрос от читателя http://ege-go.ru/zadania/gra/a1/a1-ansv/comment-page-1/#comment-6329 :  «Помогите пожалуйста решить:

Значение арифметического выражения: 9^12+3^8-27 - записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр "2" содержится в этой записи?»

Решение

Отвечаем шаг за шагом, но кратко.  Если что – задавай дополнительные вопросы. Ниже: N – это наше число, N = 9^12+3^8-27.

1. Перейдем к степеням числа 3. Получим:

N =  (3^2)^12+3^8-(3^3)  = 3^24 +3^8 – 3^3

2. Выносим 3^3 за скобки:

N = 3^3*(3^21 +3^5 – 1)

3. В троичной системе умножение на степень тройки означает добавление нулей в конце

[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – умножение на степень 10 в 10-чной системе].

Нас интересуют двойки. Поэтому достаточно посчитать количество двоек в 3-чной записи числа N1 = 3^21 +3^5 – 1.

Замечание. Ответь на вопрос: как из записи числа N1 в 3-ной системе счисления получить запись числа N в этой системе счисления?

4. Число 3^k – 1 в 3-ной системе счисления записывается k двойками.

[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – в 10-ной системе счисления число 10^k – 1 записывается k девятками].

То есть, 3^5-1 записывается 5-ю двойками.

5. Число 3^k в 3-ной системе счисления записывается единицей, за которой следуют k нулей.

[Если это не до конца понятно – обязательно напиши! Аналогия – в 10-ной системе счисления число 10^k записывается k единицей, за которой следуют k нулей.].

То есть, 3^21 записывается единицей, за которой следует  21 нуль.

6. Если к числу 3^21 прибавить число 3^5-1, то последние 5 нулей заменятся двойками. Остальные 16 нулей и единица (на 1-м слева месте) останутся без изменений (см. пп. 5 и 6).
7. Итак: В 3-ной записи числа N1 = 3^21 +3^5 – 1 есть 5 двоек. Значит, и в 3-ной записи исходного числа N содержится ровно 5 двоек

Ответ: 5

 

 

Контрольные вопросы:

К1. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа N = 9^12+3^8-27?

К2. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа 9^12+3^7-9?

К3. Сколько нулей, единиц,  двоек, троек и четверок в 5-ной записи числа 5^21+25^7-125?

К4. Сколько нулей, единиц и двоек в 3-ной записи числа 9^12+3^7-9?