Главная / Задания по информатике / Группа C / 26 (в 2015 - 26, в 2014 - С3) / 26 (в 2015 - 26, в 2014 - С3) Задача из демо-варианта

26 (в 2015 - 26, в 2014 - С3) Задача из демо-варианта

Условие       Комментарий к условию      Решение

Условие. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней.  Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход  игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда  количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок,  сделавший  последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет  22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21.

 Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

 Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть первым ходом? Укажите все такие значения.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.  Опишите выигрышную стратегию Вани.

2. Укажите два значения S, при которых  у Пети есть выигрышная стратегия, причем  (а) Петя не может выиграть первым ходом, но (б) Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

3. Укажите такое значение S, при котором  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы).  На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в позиции.

 

Комментарий к условию

1. Условие довольно длинное и требует умения понимать длинные тексты. В задаче несколько вопросов, что не обычно. Но первые вопросы представляют собой «лесенку», которая помогает ответить на последний вопрос. Наверное, если оставить в задаче только вопрос 3, для многих учеников она станет сложнее.

2. Для решения задачи полезно разбираться в основных понятиях, связанных с играми и стратегиями.  Минимально необходимые сведения включены в текст задачи (эти сведения в условии напечатаны с отступом). Более полные сведения есть здесь

 

 

Решение
1. а) Петя может выиграть первым ходом, если  S =11, …, 21. Во всех случаях нужно удвоить количество камней в куче. При меньших значениях S за один ход  нельзя получить кучу, в которой больше 21 камня.

б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S =10 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 11 камней или  20 камней. В обоих случаях Ваня удваивает количество камней и выигрывает первым ходом.

2. Возможные значения S: 5 и 9.  В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он  может получить кучу из 10 камней. Эта позиция разобрана в п. 1б.  В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть, Петя) следующим ходом выиграет.

3. Возможное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9 или  16 камней. Если в куче станет 16 камней, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 9 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает  своим вторым ходом.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчеркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

Положения после очередных ходов

И.п.

1-й ход Пети (разобраны все ходы)

1-й ход Вани (только ход по стратегии)

2-й ход Пети (разобраны все ходы)

2-й ход Вани

(только ход по стратегии)

8

8+1 =9

9+1=10

10+1=11

11*2=22

10*2=20

20*2=40

8*2=16

16*2=32

 

 

 

FigC3demo

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Дерево всех партий, возможных при Ваниной  стратегии. Знаком >> обозначены позиции, в которых партия заканчивается.

 

 

 

 
 

0 Comments

Оставьте коммент первым.

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика