Задание 23. Еще три примера

1. Задача 2013-B15-1

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, x₃, x₄,  которые удовлетворяют перечисленным ниже условию?

x1 /\ x2 = 0         (1)
x3 \/ x4 = 1         (2)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x₁, x₂, ..., x₅, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. Уравнение (1) имеет 3 решения - все пары значений переменных x₁, x₂, кроме (1, 1).

Аналогично, уравнение (2) тоже имеет 3 решения - все пары значений переменных x₃, x₄, кроме (0, 0).

В системе (1)-(2) переменные x₁, x₂  входят только в уравнение (1), а переменные x₃, x₄  - только в уравнение (2). Такие системы называют системами с разделяющимися переменными. В таких системах решение полной системы можно получить сочетанием любого решения первого уравнения с любым решением второго уравнения.

Поэтому система имеет 3*3 = 9 решений.

Ответ: 9

2. Задача 2012-B15-3

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, ..., x₅, которые удовлетворяют всем перечисленному ниже условию?

(x₁ → x₂) /\  (x₂ → x₃) /\ (x₃ → x₄) /\ (x₄ → x₅) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x₁, x₂, ..., x₅, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. Очевидно, выполнены следующие соотношения:

Допустим, что набор {a1, a2, a3. a4, a5} – решение нашего уравнения. Допустим, что  a4 = 1. Тогда, из уравнения

(x₄ → x₅) = 1

следует, что a5 = 1 (напомним: 1 → 0  ложно!). Допустим теперь, что а3=1. Из условия

(x₃ → x₄) = 1

следует, что a4=1 и, значит, по доказанному, a5 = 1.

Аналогично можно показать (проверьте сами!), что если в решении встречается 1, то далее идут только единицы.

Таким образом, решения уравнения – это наборы, в которых сначала идут нули, а потом – единицы.

!!! Важно не забыть про «особые» наборы – 00000 и 11111. Они тоже годятся.

Таким образом, вот все решения уравнения:

00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111

Каждое решение полностью описывается количеством единиц в нем. Это количество может быть от 0 до 5. Количество решений – 6.

3. Задача 2012-B15-4

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, ..., x₅, z₁, ..., z₄, которые удовлетворяют всем перечисленному ниже условию?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x₁, x₂, ..., x₅, , z₁, ..., z_{4 ,} при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. Про такие системы говорят, что переменные в них «разделенные»: x₁, …, x₅ встречаются только в уравнении (1), а z₁, …, z₄  - только в уравнении (2).

Из решения предыдущей задачи (задача 3) следует, что уравнению (1) удовлетворяют 6 наборов значений переменных x₁, x₂, ..., x₅, а уравнению (2) – 5 наборов значений переменных z₁, …, z₄  Каждый из этих наборов для {x_i } может образовать решение с любым из наборов для {z_i }. Поэтому общее количество решений равно 6∙5 = 30.

Ответ: 30