Минимум/максимум квадратичной функции
Минимум квадратного трехчлена
0.
0.1. Посмотрите картинки, например, здесь
0.2. Общее слово для «максимум» и «минимум» - «экстремум» (как «фрукт» для «яблоко» и «груша»).
0.3. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Возможны опечатки!
1.
1.1 f(x) = x2 всегда неотрицательна и равна 0 только при x=0. Поэтому f(x) = x2 имеет минимум при x=0 и этот минимум равен 0.
1.2. f(x) = 5x2 и вообще f(x) = kx2 при k >0 – аналогично.
1.3. f(x) = -kx2, где k > 0 – аналогично. Только при x=0 будет не максимум, а минимум.
1.4. f(x) = ax2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=0 функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a<0). Значение функции при x=0 равно c.
2.
2.1. f(x) = (x-p)2 – аналогично п. 1.1. Значения функции положительны, если x не равно p; f(x) = 0, если x=p. Функция имеет минимум при x=p; значение функции в точке минимума равно 0.
2.2. f(x) = 5(x-p)2 и вообще f(x) = k(x-p)2 при k >0 – аналогично.
2.3. f(x) = -k(x-p)2, где k > 0 – аналогично. Только при x=p будет не максимум, а минимум.
2.4. f(x) = a(x-p)2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=p функция имеет экстремум (минимум, если a>0; максимум, если a<0). Значение функции при x=0 равно c.
3.
3.1. f(x) = (x-r1)*(x-r2). Например, f(x) = (x-3)*(x-5). Здесь r1 = 3; r2 = 5.
Это можно свести к случаю 2.4 (у нас для простоты a=1).
Опять таки для удобства считаем, что r2 > r1. Введем такие обозначения:
s = (r1+r2)/2; d = r2-s
Т.к. s – это среднее для r1 и r2, то
r1 = s-d
[Кто не уверен – проверьте: s-d = (r1+r2)/2 – (r2- (r1+r2)/2) = и т.д.]
Подставим в формулу s+d вместо r2 и s-d вместо r1. Получим:
(x – (s-d) ) * (x – (s+d) ) = (x-s + d) * (x-s - d) = ((x-s) +d) * ( (x-s) –d) =
= (x-s)2 – d2 .
[Напоминаю: (a+b)*(a-b) = a2 – b2. Кто забыл – проверьте! ] Итак:
f(x) = (x-r1)*(x-r2) = (x-s)2 – d2
Здесь s = (r1+r2)/2; d = r2 – s = r2 - (r1+r2)/2 = (r2-r1)/2 [я пропускаю некоторые вычисления, кто не уверен - перепроверяйте].
Теперь понятно (см. п. 2.4), что наша функция имеет минимум при x = (r1+r2)/2. Значение функции в точке минимума равно – (r2-r1)2 / 4 . К слову, это значение всегда отрицательное.
Еще кстати (для тех, кто забыл): r1, r2 – корни уравнения (x-r1)*(x-r2)=0.
3.2. f(x) = (x-r1)*(x-r2)+c. Эта функция имеет минимум в той же точке, что и уже знакомая нам функция f(x) = (x-r1)*(x-r2). Т.е. при x = (r1+r2)/2. А вот значение функции в точке минимума будет другое: с - (r2-r1)2 / 4 .
3.3. f(x) = a*(x-r1)*(x-r2)+c. Умножение на a тоже не влияет на положение точки экстремума (если a>0, это будет минимум, если a<0 - максимум). Т.е. минимум будет достигаться при при x = (r1+r2)/2. Значение функции в точке экстремума будет равно с - a* (r2-r1)2 / 4
Советую самостоятельно вычислить значение функции в точке экстремума.
4. Общий случай.
4.1. f(x) = ax2 +bx + c. Сводится к 2.4 с помощью выделения полного квадрата
Это означает вот что:
ax2 +bx + c = a*(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
Подробнее – см., например, здесь . Таким образом:
- наша функция имеет экстремум в точке x = -b/2a;
- экстремум будет минимум при a> 0 и максимумом при a < 0;
- значение функции в точке экстремума равно – (b2-4ac)/4a
2 комментария
[…] Источник статьи: http://ege-go.ru/zadania/grb/b14/b14-algebra/ […]
[…] Источник статьи: http://ege-go.ru/zadania/grb/b14/b14-algebra/ […]