Главная / Задания по информатике / Группа B / Задание 21 / Минимум/максимум квадратичной функции

Минимум/максимум квадратичной функции

Минимум квадратного трехчлена

0.

0.1. Посмотрите картинки, например, здесь

0.2. Общее слово для «максимум» и «минимум» - «экстремум» (как «фрукт» для «яблоко» и «груша»).

0.3. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Возможны опечатки!

1.

1.1 f(x) = x2 всегда неотрицательна  и равна 0 только при x=0. Поэтому f(x) = x2  имеет минимум при x=0 и этот минимум равен 0.

1.2.  f(x) = 5x2  и вообще f(x) = kx2 при k >0 – аналогично.

1.3. f(x) = -kx2, где  k > 0 – аналогично. Только при x=0 будет не максимум, а минимум.

1.4.  f(x) = ax2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=0 функция имеет экстремум (минимум, если a>0;  максимум, если a<0). Значение функции при x=0 равно c.

2.

2.1.  f(x) = (x-p)2аналогично п. 1.1. Значения функции положительны, если x не равно p; f(x) = 0, если x=p. Функция имеет минимум при x=p; значение функции в точке минимума равно 0.

2.2.  f(x) = 5(x-p)2  и вообще f(x) = k(x-p)2 при k >0 – аналогично.

2.3. f(x) = -k(x-p)2, где  k > 0 – аналогично. Только при x=p будет не максимум, а минимум.

2.4.  f(x) = a(x-p)2 + c (при любом знаке коэффициента a) – аналогично. То есть при х=p функция имеет экстремум (минимум, если a>0;  максимум, если a<0). Значение функции при x=0 равно c.

3.

3.1. f(x) = (x-r1)*(x-r2).  Например, f(x) = (x-3)*(x-5). Здесь r1 = 3; r2 = 5.

Это можно свести к случаю 2.4 (у нас для простоты a=1).

Опять таки для удобства считаем, что r2   > r1. Введем такие обозначения:

s = (r1+r2)/2;   d =  r2-s

Т.к. s – это среднее для r1 и r2, то

r1 = s-d

[Кто не уверен – проверьте: s-d = (r1+r2)/2 – (r2- (r1+r2)/2) = и т.д.]

Подставим в формулу s+d вместо r2 и s-d вместо r1.  Получим:

(x – (s-d) ) * (x – (s+d) ) = (x-s  + d) * (x-s  - d) = ((x-s) +d) * ( (x-s) –d) =

= (x-s)2 – d2 .

[Напоминаю: (a+b)*(a-b) = a2 – b2. Кто забыл – проверьте! ]  Итак:

f(x) = (x-r1)*(x-r2) = (x-s)2 – d2

Здесь s = (r1+r2)/2; d = r2 – s = r2 - (r1+r2)/2 = (r2-r1)/2 [я пропускаю некоторые вычисления, кто не уверен - перепроверяйте].

Теперь понятно (см. п. 2.4), что наша функция имеет минимум при x = (r1+r2)/2. Значение функции в точке минимума равно – (r2-r1)2 / 4 . К слову, это значение всегда отрицательное.

Еще кстати (для тех, кто забыл): r1, r2 – корни уравнения (x-r1)*(x-r2)=0.

3.2.  f(x) = (x-r1)*(x-r2)+c. Эта функция имеет минимум в той же точке, что и уже знакомая нам функция  f(x) = (x-r1)*(x-r2). Т.е. при x = (r1+r2)/2. А вот значение функции в точке минимума будет другое: с -  (r2-r1)2 / 4 .

3.3.  f(x) = a*(x-r1)*(x-r2)+c. Умножение на a  тоже не влияет на положение точки экстремума (если a>0, это будет минимум, если  a<0 - максимум). Т.е. минимум будет достигаться при  при x = (r1+r2)/2.  Значение функции в точке  экстремума будет равно  с - a* (r2-r1)2 / 4  

Советую самостоятельно вычислить значение функции в точке экстремума.

4. Общий случай.

4.1.  f(x) = ax2 +bx + c. Сводится к 2.4 с помощью выделения полного квадрата

Это означает вот что:

ax2 +bx + c = a*(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a

Подробнее – см., например, здесь . Таким образом:

- наша функция имеет экстремум в точке x = -b/2a;

- экстремум будет минимум при a> 0 и максимумом при a < 0;

            - значение функции в точке экстремума равно – (b2-4ac)/4a

 
 

0 Comments

Оставьте коммент первым.

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика