Избранные задачи сезона 2012-2013 (№№ 1- 8)

Сезон 2012-2013

 №1            №2          №3           №4           №5           №6            №7           №8

№8 Число N - это наименьшее число, которое в 64-чной системе счисления записывается 4-мя различными цифрами. Чему равна сумма цифр этого числа (в  64-чной системе счисления)?

№7  Укажите наименьшее число, которое и в 8-чной, и в 16-чной системе счисления записывается несколькими одинаковыми цифрами (в обоих записях должно быть не менее двух цифр). Ответ запишите в двоичной системе счисления.  Обоснуйте правильность своего ответа.

№4  

а)
На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16]    и Q = [30, 50]   .
Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

б)

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40]    и Q = [30, 50]   .
Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

в) На числовой прямой даны три отрезка: P = [6, 26], Q = [21, 41] и R = [100, 130]. Отрезок A таков, что формула

 (x ∈ P) \/ ( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ R)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

 №5  Кузнечик живет на числовой оси. В начальный момент Кузнечик  находится в точке 0. Кузнечик умеет выполнять две команды:
1.  вправо 13.
2.  влево 8.
По первой команде Кузнечик прыгает на 13 единиц вправо (то есть координата Кузнечика увеличивается на 13), по второй команде он прыгает на 8 единиц влево.
а)  Кузнечик хочет поставить  две стенки на равном расстоянии от начала координат так, чтобы, не заходя за стены, он мог попасть в точку +1. На каком наименьшем расстоянии от начала координат можно поставить стены?
б) Кузнечик хочет поставить  две стенки на равном расстоянии от начала координат так, чтобы, не заходя за стены, он мог попасть в любую целочисленную точку между стенами, не выходя за стены. Между стенами должно быть больше одной точки. На каком наименьшем расстоянии от начала координат можно поставить стены?
В обоих случаях стены можно ставить только в целочисленных точках; на стену запрыгивать нельзя.

№6  Для групповых операций с файлами используются маски имен файлов. Маска представляет собой последовательность букв, цифр и прочих допустимых в именах файлов символов, в которых также могут встречаться следующие символы:
Символ «?» (вопросительный знак) означает ровно один произвольный символ.
Символ «*» (звездочка) означает любую последовательность символов произвольной длины, в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.
В каталоге находится 6 файлов:
maveric.map
maveric.mp3
taverna.mp4
revolver.mp4
vera.mp3
zveri.mp3
Маска называется хорошей, если по ней из указанного списка отбирается ровно 4 файла. Определите, сколько хороших масок есть среди перечисленных ниже:

*ver*.mp*     ?ver?*.mp?     ?*v?r*.mp?*     *v*r*?.mp*?

№2. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 8;  F(2) = -8;

F(n) =- 4*F(n–1) - 3*F(n-2), при n >2

Чему равно значение функции F(256)?

№3. Значения функций F(n),  G(n) и S(n) удовлетворяют одному и тому же рекурсивному уравнению:

            X(n) = a*X(n-1) + b*X(n-2),

где a, b– постоянные коэффициенты. При этом начальные значения у функций F(n), G(n) и S(n) различны:

F(1) = 0;  F(2) = 1;

G(1) = 3;  G(2) = 4;

S(1) = 3000; S(2) = 4001.

Известно, что F(11) = 1023; G(11) = 1026.

Чему равно значение S(11)?