Перемножение количеств вариантов

1. Количество слов данной длины в данном алфавите

Задача 1.1.  Каждая задача в контрольной по математике имеет код, состоящий из двух символов. Первый символ – буква A, B, C или D (код группы задач), второй символ – цифра от 1 до 3 (номер задачи в группе). Сколько есть возможных кодов задач?

Решение.  Достаточно подсчитать количество клеток в таблице на рис. 1. Количество решений N = 4*3 = 12.

.                                            Рис.1.

Упражнение 1.1. Реши такую же задачу, если в коде

1)      5 букв и 9 цифр;

2)      9 букв и 5 цифр;

3)      5  букв и 5 цифр;

4)      3 буквы и 7 цифр.

Чтобы проверить себя, нарисуй таблицы.

Ответы: 21, 25, 45.

Примечание. Ответы даны не в порядке номеров задач, а в порядке возрастания. Ответов три, потому, что в двух случаях ответы олинаковые.

Упражнение 1.2.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из двух символов. Каждый из символов одна из букв A, B, C, D или E.  Сколько есть возможных кодов билетов?

Подсказка.   Заполни таблицу на рис.2 и подсчитай, сколько в ней клеток.

Рис.2

 

Упражнение 1.3.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из двух символов. Каждый из символов одна из 8 букв A, B, C, D, E, F, G, H .  Сколько есть возможных кодов билетов?

Ответы к упражнениям 1.2, 1.3:   5*5 = 5² = 25, 8*8 = 8² = 64

 

3.

Задача 2.1.  Каждая задача в итоговой контрольной по естествознанию имеет код, состоящий из трех символов. Первый символ – буква A, B, C или D (код группы задач). Второй символ – цифра от 1 до 3 (номер задачи в группе). Третий символ – код предмета – одна из следующих  5 букв: А (астрономия), Б (биология), Г (география), Ф (физика), Х (химия). Сколько есть возможных кодов задач?

Решение.  Задача похожа на задачу 1.1, но таблицу пришлось бы делать трехмерную. Чтобы избежать этого поступим так. Каждый трехсимвольный код разобьем на две части. Первая часть – все буквы, кроме последней (т.е. две первые буквы). Вторая часть – последняя буква. Например, код B3Ф разобьется на части так:  B3-Ф.

Количество вариантов для первой части мы уже знаем – их 12 (см. задачу 1.1). Значит, количество вариантов для трехсимвольного кода можно подсчитать с помощью такой таблицы:

 

Рис. 3

Количество возможных кодов = количество клеток в таблице =

= 12*5 = (4*3)*5= 4*3*5 = 60

Ответ: 60.

 

Упражнение 2.1. Реши такую же задачу, если в коде

1)      5 букв, 9 цифр и 4 кода предмета;

2)      8 букв, 5 цифр и 6 кодов предмета;

3)      16  букв, 5 цифр и 3 кода предмета;

4)      10 букв, 9 цифр и 2 кода предмета;

5)      3 букв, 3 цифры и 3 кода предмета.

Чтобы проверить себя, нарисуй таблицы.

Ответы: 27, 180, 240.

Примечание. Ответы даны не в порядке номеров задач, а в порядке возрастания. Ответов три, потому, что в нескольких случаях ответы олинаковые.

 

Упражнение 2.2.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из трех символов. Каждый из символов одна из букв A, B, C, D или E.  Сколько есть возможных кодов билетов?

 

Упражнение 2.3.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из трех символов. Каждый из символов одна из цифр 0, 1, 2, 3 (нули в начале кода допускаются).  Сколько есть возможных кодов билетов?

 

Ответы к упражнениям 2.2, 2.3:   4*4*4 = 4³ = 64, 5*5*5 = 5³ = 125

Примечание. Ответы даны в порядке возрастания.

Задача 3.1.  Каждая задача в итоговой контрольной по естествознанию имеет код, состоящий из 4-х символов. Первый символ – буква A, B, C или D (код группы задач). Второй символ – цифра от 1 до 3 (номер задачи в группе). Третий символ – код предмета – одна из следующих  5 букв: А (астрономия), Б (биология), Г (география), Ф (физика), Х (химия). Четвертый символ – код  сложности – одна из двух букв: П (простая) или Т (трудная). Сколько есть возможных кодов задач?

Решение. Снова (как в задаче 2.1) отделим последнюю букв. Для 3-хбуквенных начал (по-научному – префиксов) ответ уже знаем – их 60 возможных вариантов. К каждому из шестидесяти можно приписать либо П, либо Т. Получаем: 60 четырехбуквенных кодов с П и 60 четырехбуквенных кодов с Т – всего

60+60 = 60*2 = 4*3*5*2 = 120

четырехбуквенных кодов.

Ответ:  120

 

Упражнение 3.1. Реши такую же задачу, если в коде

1)      5 букв, 9 цифр, 4 кода предмета и 5 кодов сложности;

2)      8 букв, 5 цифр, 6 кодов предмета и 2 кода сложности;

3)      16  букв, 5 цифр, 3 кода предмета и 3 кода сложности;

4)      10 букв, 9 цифр,  2 кода предмета и 2 кода сложности;

5)      3 букв, 3 цифры,  3 кода предмета и 3 кода сложности;

Ответы: 81, 360, 480, 720, 900, 1001.

Примечание. Ответы даны не в порядке номеров задач, а в порядке возрастания. Ответов 6, потому, что один лишний 🙂 .

Упражнение 3.2.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из 4-х символов. Каждый из символов одна из букв A, B, C, D или E.  Сколько есть возможных кодов билетов?

Упражнение 3.3.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из 4-х символов. Каждый из символов одна из цифр 0, 1, 2, 3 (нули в начале кода допускаются).  Сколько есть возможных кодов билетов?

Упражнение 3.4.  Давным-давно экзамены сдавали устно. На столе лежали билеты, ученик наугад выбирал билет. При составлении билетов для экзамена по информатике каждый билет получал код, состоящий из 5-и символов. Каждый из символов одна из букв Е, Г, Э.  Сколько есть возможных кодов билетов?

 

Ответы к упражнениям 3.2, 3.3, 3.4:   3*3*3*3*3 = 3⁵ = 243; 4*4*4*4= 4⁴ = 64*4 = 256, 5*5*5*5 = 5⁴ = 625

Примечание. Ответы даны в порядке возрастания.