Логика
НЕКОТОРЫЕ
СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
1. Обозначения
1.1. Обозначения для логических связок (операций):
a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);
b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);
c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);
d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);
e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);
f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).
1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).
1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и
((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).
Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.
2. Свойства
Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.
2.1. Общие свойства
- Для набора из n логических переменных существует ровно 2n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2n строк.
2.2.Дизъюнкция
- Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.
- Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.
- Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
- Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.
2.3. Конъюнкция
- Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.
- Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.
- Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.
- Значение конюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.
2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции
Назовем (для удобства) конъюнкцию простой, если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой, если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.
- Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.
- Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.
2.5. Импликация
- Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.
- Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A →B истинна при любом значении B.
9 комментариев
Спасибо. Прекрасные правила. Подготовилась к контрольной. Низкий поклон.
Пожалуйста!
Думаю, без бутилки не разберемся
А есть ли какая-то информация о логической зависимости по форме нелинейного произведения. В одной статье вычитала. Какой приоритет по отношению к указанным операциям?
Извини - не понял, о чем речь. Поясни на примере, пожалуйста. Успехов!
полагаю имеется в виду если большое выражение содержащее много переменных но не расставлены скобки, например... какой приоритет будут иметь операции? AV¬BΛC→D↔E пример выражения. приоритет операция следующий: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Если моя информация верна))
Да, все верно. Спасибо!
У вас в пункте 2.4. Простые ДТЗЪЮНКЦИИ и конъюнкции.Исправьте)
Уже исправил. Спасибо!