Составные высказывания и логические выражения
2.1. Составные высказывания
Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.
Примеры. Забор красный И забор деревянный.
Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя
Забор НЕ красный.
Смысл этих высказываний понятен.
Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно.
Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, - составное высказывание ложно.
Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.
Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок : )
(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)
Здесь 3 элементарных высказывания.
2.2. Логические значения. Логические операции.
Мы уже знаем, что каждому высказыванию можно приписать одно из двух логических значений – истина (часто обозначается: 1) или ложь (часто обозначается: 0). Слова И, ИЛИ, НЕ задают операции над логическими значениями (логические операции). Действительно, например, составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба его элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно. Здесь нам не важно, каковы были исходные высказывания. Истинность составного высказывания зависит только от логического (иногда говорят - истинностного) значения исходных высказываний.
Так как логических значений всего два, то эти операции можно описать таблицами.
У операций И, ИЛИ, НЕ есть «научные» названия (даже несколько для каждой операции 🙂 и специальные обозначения (в примерах A, B обозначают какие-то конкретные логические значения):
НЕ: отрицание, инверсия. Обозначение: ¬ (например, ¬А);
И: конъюнкция, логическое умножение.
Обозначается /\ (например, А /\ В) либо & (например, А & В);
ИЛИ: дизъюнкция, логическое сложение.
Обозначается \/ (например, А \/ В).
В математике используются и другие логические операции.
Каждая логическая операция может быть задана своей таблицей. Вот еще два примера логических операций:
1) следование (импликация); обозначается → (например, А → В); см. таб. 4. Выражение А → В истинно если A ложно ИЛИ B истинно. То есть, А → В означает то же самое, что и (¬А) \/ В.
2) тождество (эквивалетность); обозначается ≡ (например, A ≡ B); см. таб 5. Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны).
Логические операции играют для логических значений ту же роль, что и арифметические операции для чисел. Аналогично построению алгебраических выражений, с помощью логических операций можно строить логические выражения. Как и алгебраические выражения, логические выражения могут включать константы (логические значений 1 и 0) и переменные. Если в логическом значении есть переменные, оно задает функцию (логическую функцию; синоним: булеву функцию). Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в выражение вместо переменных.
.
.
Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности, которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая функция (синоним: принимает выражение) при каждом допустимом наборе значений переменных. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).
2.4. Эквивалентные выражения.
Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).
Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неээквивалентных выражений таблицы истинности различны.
2.5. Приоритеты логических операций.
При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:
отрицание (инверсия),
конъюнкция (логическое умножение),
дизъюнкция (логическое сложение),
импликация (следование),
тождество.
Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).
Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.
4 комментария
2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.
Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в МЫРАЖЕНИЕ вместо переменных
Досадная опечатка, исправьте
Спасибо! Исправили 🙂
Таблица 8 построена совершенно неправильно!!! Откровенные грубые ошибки!!!
Первая строчка: (0 → 0 ) /\ (0 → 0)
будет равняться 1, т.к. 0→0=1, а 1/\1=1.
Исправьте: 1,3,6,7 строки!
И вообще лучше пересмотреть и перепроверить все остальные таблицы и всю статью в целом.
СПАСИБО! Вроде, исправили 🙂