Множества. Основные сведения.
1. Множества и их элементы.
Множества являются «основными» математическими объектами. Они лежат в основе всей математики, все математические объекты (числа, точки и другие) можно рассматривать как множества и их элементы. Вот основные свойства множеств и отношения между множествами и составляющими их элементами («элемент» здесь общее слово для тех объектов, которые составляют множество; это могут быть яблоки, люди, гномы, числа, точки и т.д.). Ниже при описании свойств и отношений множества обозначаются большими латинскими буквами, а их элементы – маленькими латинскими буквами .
Свойства: "множество A - пустое", т.е. A не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается так: Ø.
Отношения:
1) " x принадлежит A", т.е. x является элементом множества A; синоним: x лежит в A. Пример высказывания: " число ½ принадлежит множеству целых чисел". Это высказывание ложно. Принадлежность элемента множеству обозначается знаком ∈. Пример: "½∈Z " (здесь Z обозначает множество целых чисел).
2) "A - подмножество B" (синонимы: "A включено в B ", " A - часть B"). Смысл: каждый элемент первого множества одновременно является и элементом второго множества. Пример: "множество натуральных чисел - подмножество множества целых чисел"; это высказывание истинно. Отношение "быть подмножеством обозначается знаком ⊆ . Пример: "N ⊆ Z" (здесь N обозначает множество натуральных чисел, а Z обозначает множество целых чисел).
2. Операции над множествами.
Основные операции над множествами - это объединение (обозначение: A ∪ B), пересечение (обозначение: A ∩ B), и разность (обозначение: A \ B), . Часто удобно считать, что все рассматриваемые в задаче множества являются подмножествами одного универсального множества U. В зависимости от решаемой задачи в качестве универсального множества может выступать множество всех целых чисел, множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости и т.п. Разность между универсальным множеством и данным множеством A называется дополнением множества A.
3. Операции над множествами и логические операции.
Логические выражения над элементарными высказываниями о множествах (высказывания вида "A=∅", "x∈A" "A⊆B" ) можно преобразовывать, используя не только общие правила преобразования логических выражений, но и свои правила, связанные со свойствами операций над множествами. Ниже U - это универсальное множество; x - его произвольный элемент, A, B, X - множества. Верны следующие утверждения.
1. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых x, A, B (это обозначено знаком ⇔)
1а) (x∈A)∧(x∈B) ⇔ x∈A∩B
1б) (x∈A)∨(x∈B) ⇔ x∈A∪B
1в) ¬(x∈A) ⇔ x∈U\A
1г) (x∈A)∧ (¬(x∈B)) ⇔ x∈A\B
2. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых X, A, B (это обозначено знаком ⇔)
2а) (X∩A ≠Ø ) ∨ (X∩B ≠Ø ) ⇔ (X∩ (A∪B) ≠Ø )
2б) (X∩A = Ø ) ∧ (X∩B = Ø ) ⇔ (X∩ (A∪B) = Ø )
3. (а) Пусть A ⊆ B, т.е. A - подмножество B; x - элемент универсального множества U. Тогда истинно высказывание:
(x ∈ A) → (x∈ B)
(б) Пусть высказывание (x ∈ A) → (x∈ B) истинно при любом x ∈ U. Тогда A ⊆ B.
4. (а) Пусть A ⊆ B, т.е. A - подмножество B; X ⊆ U - произвольное множества. Тогда истинно высказывание:
(X∩A ≠Ø ) → (X∩B ≠Ø )
(б) Пусть высказывание (X∩A ≠Ø ) → (X∩B ≠Ø ) истинно для любого множества X ⊆ U. Тогда A ⊆ B.
5. Следующее высказывания истинны для любых множеств A, B, X
( (X∩A ≠ Ø ) ∧ (X∩B = Ø ) ) → (X∩ (B) ≠ Ø )
4. Подсчет количества элементов в пересекающихся множествах.
См. здесь
1 Коммент
[…] Ege-go. ru […]