Логические выражения и таблицы истинности. Справочник.

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

5.1. Общие свойства

1) Для набора из n логических переменных существует ровно 2ⁿ различных значений.

2) Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец (по одному столбцу на каждую переменную + 1 столбец на значение выражения) и  2ⁿ строк.

5.2.Дизъюнкция

1) Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.

2) Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.

3) Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.

4) Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

5.3. Конъюнкция

1) Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.

2) Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.

3) Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.

4) Значение конъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

5.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой,  если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой,  если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

1) Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.

2) Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.

5.5. Импликация

1) Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬А)  \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.

2) Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A→B истинна при любом значении B.

5.6. Эквивалентность

1) Эквивалентность A ≡ B равносильна конъюнкции двух импликаций: A→B  и B→A. Эту конъюнкцию можно записать так: (A→B)/\ (B→A)

2) Эквивалентность A ≡ B принимает значение 1 (истина) тогда и только тогда, когда значения переменных A и B одинаковы, т.е. A=B=1 или A=B=0.

Поэтому эквивалентность A ≡ B равносильна выражению (A/\B) \/ ((¬А) /\ (¬В) ).

3) Эквивалентность A ≡ B принимает значение 0 (истина) тогда и только тогда, когда значения переменных A и B различны, т.е. A=0, а B=1 или A=1, а B=0.

Поэтому эквивалентность A ≡ B равносильна выражению ¬ ( (A/\¬B) \/ (А /\¬В) )