Арифметическая прогрессия

1.      Определения.

Определение. Арифметическая прогрессия – это такая последовательность

a₁, …, a_n,

что для всех n > 1 разность a_n,- a_n-1 постоянна и равна одному и тому же числу d. Это число d называется знаменателем прогрессии.

Таким образом,

a₂ = a₁+d;

a₃ = a₂+d = a₁+d + d = a₁+2d;

a₄ = a₃+d = a₁+2d + d = a₁+3d;

….

a_n = a_n-1+d = a₁+(n-2)*d + d = a₁+(n-1)*d;

Замечание. Иногда арифметической прогрессией называют бесконечную последовательность, у которой разность между соседними числами постоянна. Тогда конечную последовательность a₁, …, a_nназывают начальным участком арифметической прогрессии.

 2.      Сумма арифметической прогрессии

Задача. Дана арифметическая прогрессия a₁, …, a_n; знаменатель прогрессии равен d. Найти сумму

S = a₁+ …+ a_n

Решение.  

Имеем:

                                                                 S = a₁+ …+ a_n                             (1)                                    

Запишем слагаемые в сумме в обратном порядке:

                                                                          S = a_n+ …+ a₁                    (2)

 Сложим (1) и (2) и сгруппируем в правой части слагаемые, которые стоят друг под другом:

      2S = (a₁+ a_n ) + (a₂+ a_n-1 ) + (a₃+ a_n-2 ) +…+ (a_n+ a₁ )         (3)

Докажем, что все слагаемые в правой части равенства (3) равны. Действительно, k-е слагаемое имеет вид:

a_k+ a_n+1-k ; k = 1, … , n

Воспользуемся формулой (см. раздел 1)

                                                                     a_k = a₁+(k-1)*d                                  (4)

Тогда

                                         a_n+1-k = a₁+((n+1-k)-1)*d = a₁+(n-k)*d       (5)

Складываем (4) и (5). Получим:

               a_k+ a_n+1-k = a₁+(k-1)*d   +  a₁+(n-k)*d  = 2*a₁+(n-1)*d   (6)   

Итак, в правой части формулы (3) есть n слагаемых и каждое из них равно

                                                                       2*a₁+(n-1)*d =  a₁+ a_n                     (7)

Поэтому из (3) и (7) получаем:

2S = n* (2*a₁+(n-1)*d) = n*(a₁+ a_n)

Отсюда получаем две формулы для суммы арифметической прогрессии.

Формула 1.

S = n* (2*a₁+(n-1)*d)/2 = n* a₁+n*(n-1)*d/2

Формула 2.

S = n*(a₁+ a_n)/2

3.      Пример:  сумма n первых натуральных чисел.

Рассмотрим последовательность 1, …, n .Это – арифметическая прогрессия со знаменателем 1. Поэтому по Формуле 2 для суммы 1 + …+ n получаем:

1 + …+ n = n*(n+1)/2

Формула 1, естественно, даст тот же результат.  🙂