Главная / Темы / Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия


1.      Определения.

Определение. Арифметическая прогрессия – это такая последовательность

a1, …, an,

что для всех n > 1 разность an,- an-1 постоянна и равна одному и тому же числу d. Это число d называется знаменателем прогрессии.

Таким образом,

a2 = a1+d;

a3 = a2+d = a1+d + d = a1+2d;

a4 = a3+d = a1+2d + d = a1+3d;

….

an = an-1+d = a1+(n-2)*d + d = a1+(n-1)*d;

Замечание. Иногда арифметической прогрессией называют бесконечную последовательность, у которой разность между соседними числами постоянна. Тогда конечную последовательность a1, …, anназывают начальным участком арифметической прогрессии.

 2.      Сумма арифметической прогрессии

Задача. Дана арифметическая прогрессия a1, …, an; знаменатель прогрессии равен d. Найти сумму

S = a1+ …+ an

Решение.  

Имеем:

                                                                 S = a1+ …+ an                             (1)                                    

Запишем слагаемые в сумме в обратном порядке:

                                                                          S = an+ …+ a1                    (2)

 Сложим (1) и (2) и сгруппируем в правой части слагаемые, которые стоят друг под другом:

      2S = (a1+ an ) + (a2+ an-1 ) + (a3+ an-2 ) +…+ (an+ a1 )         (3)

Докажем, что все слагаемые в правой части равенства (3) равны. Действительно, k-е слагаемое имеет вид:

ak+ an+1-k ; k = 1, … , n

Воспользуемся формулой (см. раздел 1)

                                                                     ak = a1+(k-1)*d                                  (4)

Тогда

                                         an+1-k = a1+((n+1-k)-1)*d = a1+(n-k)*d       (5)

Складываем (4) и (5). Получим:

               ak+ an+1-k = a1+(k-1)*d   +  a1+(n-k)*d  = 2*a1+(n-1)*d   (6)   

Итак, в правой части формулы (3) есть n слагаемых и каждое из них равно

                                                                       2*a1+(n-1)*d =  a1+ an                     (7)

Поэтому из (3) и (7) получаем:

2S = n* (2*a1+(n-1)*d) = n*(a1+ an)

Отсюда получаем две формулы для суммы арифметической прогрессии.

Формула 1.

S = n* (2*a1+(n-1)*d)/2 = n* a1+n*(n-1)*d/2

Формула 2.

S = n*(a1+ an)/2

3.      Пример:  сумма n первых натуральных чисел.

Рассмотрим последовательность 1, …, n .Это – арифметическая прогрессия со знаменателем 1. Поэтому по Формуле 2 для суммы 1 + …+ n получаем:

1 + …+ n = n*(n+1)/2

Формула 1, естественно, даст тот же результат.  :)

 
 

0 Comments

Оставьте коммент первым.

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика