B8 Математика

B8.1      B8.2      B8.3     B8.4      B8.5    B8.6     B8.7     B8.8     B8.9     B8.10

B8.11    B8.12    B8.13    B8.14    B8.15   B8.16   B8.17   B8.18   B8.19    B8.20

B8.21    B8.22    B8.23   B8.24   B8.25   B8.26   B8.27  B8.28   B8.29   B8.30    B8.31

 

Справочные материалы от Д. Гущина

 

 

№1

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Решение

Площадь треугольника вычисляется как полу-произведение высоты на основание, на которое опущена эта высота :

\[S=\frac{(h_{a}*a)}{2}\]

Посчитаем по клеточкам высоту и сторону.

S=6*3:2=9

Ответ:  9

 

№2

 

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны \(\frac{41}{\sqrt{\pi}}\) и \(\frac{37}{\sqrt{\pi}}\)

 

Решение

Площадь кольца вычисляется по формуле

\(S=\pi*r^2\)

Следовательно площадь кольца можно вычислить с помощью площадей большого и маленького кругов

\[S=S_{R}-S_{r}=\pi*(R^2-r^2)=\frac{(41^2-37^2)*\pi}{\sqrt{\pi}^2}=41^2-37^2=312\]

Ответ 312

 

№3

 

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (9;2), (9;4), (1;9).


Решение 1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Возьмем в качестве основания вертикальную сторону. Её длина L = 9 - 7 = 2. Высота между вертикальными сторонами H = 9 - 1 = 8. Площадь S = L*H = 2*8 = 16 .

 

Решение 2.  Площадь параллелограмма можно найти с помощью трапеции и прямоугольного треугольника

Площадь трапеции

\[ S_1=\frac{(4-2)+(9-2)}{2}*(9-1)=\frac{9*8}{2}=9*4=36\]

Площадь треугольника

\[ S_2=\frac{(7-2)*(9-1)}{2}=\frac{5*8}{2}=5*4=20\]

Площадь параллелограмма равна разности площади трапеции и треугольника

\[ S_3=S_1-S_2=36-20=16\]

 

Ответ: 16

 

№4

 

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.



Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований трапеции на высоту трапеции

\( S=\frac{(1+4)}{2}*4=10\)

Ответ 10

 

№5

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.) изображён треугольник. Найдите его площадь (в квадратных сантиметрах).


Решение

Чтобы найти площадь треугольника найдем площадь прямоугольника в который "вписан" искомый треугольник и вычтем площади маленьких треугольников.

Площадь прямоугольника найдем по произведению сторон и площадь маленьких треугольников найдем по полу-произведению катетов:

\[S_0=5*7=35\]

\[S_1=\frac{5*4}{2}=10\]

\[S_2=\frac{3*3}{2}=\frac{9}2\]

\[S_3=\frac{2*7}{2}=7\]

\[S=S_0-S_1-S_2-S_3=35-10-7-\frac{9}2=\frac{27}{2}=13,5\]

Ответ 13,5

 

№6

 

Найдите площадь закрашенной фигуры.


Решение

Стороны  квадратов найдем через теорему Пифагора.

\(A^2=7^2+7^2=98\)

\(a^2=3^2+3^2=18\)

Площадь квадрата вычисляется как квадрат стороны.

Тогда площадь закрашенной фигуры можно вычислить как разность площадей двух квадратов:

\(S=A^2-a^2=98-18=80\)

Ответ 80

 

№7

 

Найдите площадь S закрашенной фигуры. В ответе укажите\(\frac{S}{\pi}\).



Решение

см №2

Ответ 33

 

№8

 

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A(5;8) и B(−1;3).


Решение  Координата середины отрезка равна полусумме (среднему арифметическому) координат концов.

\(y_{cep}=\frac{y_a + y_b}{2}=\frac{8 +3}2=\frac{11}2=5,5\)

Ответ: 5,5

 

 

№9

 

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (10;6), (10;8).


Решение 

Треугольник прямоугольный, значит его площадь равна полу-произведению катетов

Длинна катетов вычисляется :

\(a=x_2-x_1=10-1=9\)

\(b=y_2-y_1=8-6=2\)

\(S=\frac{a*b}2=\frac{9*2}2=9\)

Ответ: 9

 

 

№10

 

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (6;3), (6;5), (1;9).


см №3

Решение 1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Возьмем в качестве основания вертикальную сторону. Её длина L = 9 - 7 = 2. Высота между вертикальными сторонами H = 6 - 1 = 5. Площадь S = L*H = 2*5 = 10 .

Решение 2.  см №3 .

\[ S_1=\frac {(6+2)*5}{2}=20\]

\[S_2=\frac{5*4}{2}=10\]

\[S_3=S_1-S_2=10\]

Ответ 10

 

№11

 

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.



Решение

см №5

 

Ответ 13,5

 

№12

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.



Решение

см №4

 

Ответ 32,5

 

№13

 

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.


Решение

см №4

 

Ответ 19,5

 

№14

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.



Решение  Площади треугольника S = a*h/2, где a - основание треугольника, h - его высота. В задаче a= h = 6. Значит, S = 6*6/2 = 18.

Ответ 18

 

№15

Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (8;0),(10;8),(2;10),(0;2).



Решение

 

см №6

сторона квадрата \(a^2=(2-0)^2+(10-2)^2=4+68\)

Ответ 68

 

 


№16

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6),(10;6),(2;8).



Решение

 

см №9

Несложно заметить, что две вершины треугольника лежат на прямой параллельной оси абсцисс (oX). Значит мы можем по координатам вычислить длину одной стороны и высоты опущенной на эту сторону.

a=10-1=9

\(h_a=8-6=2\)

=>\(S=\frac{a*h_a}2=\frac{9*2}2=9\)

Ответ 9

 

№17

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.



Решение

 

см №5

Ответ 40

 

№18

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.



Решение

№3

 

Ответ 22

 

№19

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (3;7), (4;9).



Решение

см №16

 

Ответ 2

 

№20

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге, если размер клетки 1 x 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



Решение

см №5

 

Ответ 30

 

№21

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 4 и 11. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BO}\) .


Решение

скалярное произведение

\((\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|*\cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})\)

известно, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу=> и вектора AO и BO перпендикулярны друг другу, а значит косинус угла между ними равен косинусу 90 градусов (или пи пополам) и равен нулю

\(\cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\cos\frac{\pi}2=0\)

=>\((\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=0\)

 

Ответ 0

 

№22

На координатной плоскости изображен параллелограмм ABCD. Найдите ординату точки C.



Решение

Напоминание: ордината- это координата на оси oY.

Вектора AB и DC равны (так как противоположные стороны параллелограмма равны по длине и параллельны). Поэтому \(C_y = DC_y = AB_y = B_y-A_y = 8-5=3\)

 

Ответ 3

 

№23

 

Найдите квадрат длины вектора \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)




Решение

Квадрат вектора равен квадрату длины вектора, т.е.  равен квадрату длины вектора

\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2\)

Пусть:  \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)

Вектор а  имеет координаты \(\overrightarrow{a}=(a_{x} ; a_{y})=(3; 5)\)

Вектор b  имеет координаты \(\overrightarrow{b}=(b_x;b_y)=(-6; -1)\)

Тогда вектор c  имеет координаты \(\overrightarrow{c}=(a_x-b_x; a_y-b_y)=(c_x; c_y)=(3-(-6); 5-(-1))=(9; 6)\)

Тогда квадрат длинны  вектора вычисляется по формуле

\[|\overrightarrow{c}|^2={c_x^2+ c_y^2}={81+36}=117 \]

 

Ответ 117

 

№24

Найдите площадь сектора круга радиуса  \(\frac{39}{\sqrt{\pi}}\), центральный угол которого равен 90∘.

Решение

угол равен \(90^0\)=> площадь сектора равна четверти площади круга того же радиуса

\(S_0=\pi*r^2=\pi*(\frac{39}{\sqrt{\pi}})^2=\frac{\pi*39^2}{\pi}=39^2=1521\)

\(S_{sektor}=\frac{S_0}4=\frac{1521}4=380,25\)

 

Ответ 380,25

 

№25

Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{a}\)  и \(\overrightarrow{b}\) . Ответ дайте в градусах.

Решение

см №21

Следовательно 

\[\cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\frac{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|}\]

\((\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=(x_a*x_b+y_a*y_b)=1*4+3*2=10\)

\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\)

\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)

\(\cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\frac{10}{2\sqrt{5*10}}=\frac5{5\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2=cos45\)

 

Ответ 45

 

№26

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге, если размер клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

см №5

Примечание. здесь площадь высчитывается через прямоугольник, три треугольника и одну трапецию.

 

Ответ 27,5

 

№27

Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, если размер клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

см №1

 

Ответ 18

 

№28

Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

 

см №5.

Примечание. Очень важно заметить, что фигура является не треугольником, а четырехугольником. На этой основе существует задачка про исчезающую клетку

Ответ  13


№29

Площадь сектора круга радиуса 17 равна 85. Найдите длину его дуги.


Решение

\(S=\frac{\pi*R^2*a}{360^0}\)

\(L=\frac{2\pi*R*a}{360^0}\)

=>\(\frac{\pi*R*a}{360^0}=\frac{L}2\)

=> \(S=\frac{L*R}2\)

=>\(L=\frac{2S}{R}=\frac{2*85}{17}=10\)

Ответ  10

 

№30

В треугольнике ABC известно, что угол A --- тупой. К сторонам AB=3 и AC=9 проведены высоты, одна из которых равна 3. Найдите вторую высоту.
Решение

получившиеся треугольники подобны по двум углам (по \(90^0\) и вертикальные)

высота  маленького треугольника не может равняться 3, потому что тогда 2 стороны прямоугольного треугольника будут равны 3, что невозможно.

=> коэффициент подобия \(K=\frac39=\frac{h}3\)

=> h=\(\frac393=1\)

Ответ 1


№31

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге, если размер клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

см №5

Ответ 34

 
 

12 Комментов

  1. Неля:

    подскажите пожалуста №14 почему ответ 14 у меня 18 получается(

    • editor:

      У тебя получается правильно:) , а у нас была опечатка :(. Уже исправили. Спасибо!
      Всего хорошего!

  2. наталья:

    3 и 10 это параллелограммы, зачем такое сложное решение? Площадь= высота*основание.

    • editor:

      Конечно, Вы правы. В спешке недосмотрели :) Добавили короткое решение. Спасибо! Удачи!

  3. Марат:

    Добрый вечер. подскажите пожалуйста решение B5 №7 , не могу понять почему 33 :(

  4. Даниил:

    в 22 перепутаны модули векторов

    • editor:

      Какие модули векторов? Я немного отредактировал решение, но про модули там ничего не было и нет. Уточни, пожалуйста.

  5. Вячеслав:

    №8. Неправильное решение. В условии ордината точки B 3, а в решении -3. Исправьте, пожалуйста

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика