Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.
1. Что такое вероятность
Вот три задачи.
А. В корзине лежат елочные игрушки – 4 шарика разных цветов, красный, синий, зеленый и золотой. Вера наугад достает шарик из корзины. С какой вероятностью она достанет золотой шарик?
Б. В мешке лежат теннисные мячи разных сортов: 45 белых , 35 жёлтых и 20 светло-голубых. С какой вероятностью случайно вынутый из мешка мяч окажется желтым?
В. Для экзамена по информатике есть 30 билетов, в 27 из них встречается вопрос по алгоритмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по алгоритмам.
Во всех этих задачах описаны однотипные ситуации. А именно.
1. Совершается определенное действие (можно сказать и так: происходит событие):
А) Вера достает шарик из корзины.
Б) Кто-то достает мячик из мешка.
В) Школьник тащит билет.
2. У событие может быть несколько исходов.
!!! Все исходы – равно возможны (можно сказать – «равновероятны»).
А) Исход – какой шарик достала Вера. Количество исходов – 4.
Б) Исход – какой мячик достали. Количество исходов – 45+35+20 = 100.
В) Исход – какому билет вытянул школьник. Количество исходов – 30.
3. Некоторые исходы считаются «успешными» (в смысле задачи :), по жизни в таком «успехе» может ничего особенного не быть). Нам важно, сколько есть «успешных» исходов.
А) Успешный исход –Вера достала золотой шарик.
Количество успешных исходов – 1.
Б) Успешный исход – достали желтый мячик.
Количество успешных исходов – 35.
В) Успешный исход – школьник вытянул билет без вопроса по алгоритмам.
Количество успешных исходов – 30-27 = 3.
Так вот.
Вероятность успеха (иными словами – вероятность того, что произойдет один из исходов, которые мы считаем успешными) – это отношение числа успешных исходов к общему числу возможных исходов.
Схематично это можно записать так (знак # заменяет слово «количество»):
# успешных исходов
Вероятность = -------------------------------
# всех исходов
Понятно, что вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.
4. Таким образом, в задачах получаем такие ответы:
А) 1/4 = 0,25
Б) 35/100 = 0,35
В) 3/30 = 0,1
Вот, собственно говоря, и все. В заключение – два важных замечания.
Замечание 1: В основе определения вероятности – предположение о том, что все исходы равноправны (равно возможны). Например, в задаче В школьник не должен знать, что написано в билетах, а Вера не должна подсматривать. В условиях задач на это указывают слова «наугад», «по жребию», и т.п. Иногда таких слов в условии нет, равноправность исходов подразумевается по смыслу (например, в задаче В).
Замечание 2. Разбираясь, что считать исходом в конкретной задаче, нужно следить за тем, чтобы исходы было (по смыслу задачи) равноправны (равновероятны). Например, некто мог бы в задаче Б считать исходом цвет вытащенного мячика. Тогда исходов было бы 3 (белый, желтый, светло-зеленый), из них один успешный. Но эти исходы не равноправны – ведь мячиков разное число.
Упражнение. Вот известный анекдот.
Какова вероятность того, что первый человек, которого ты встретишь, выйдя из дома, будет королева Великобритании
Ответ. Есть 2 исхода – либо королева, либо не королева. Успешный исход – 1. Значит вероятность равна ½ = 0,5 = 50%.
Разберитесь – где в рассуждении ошибка.
2. Как решать задачи
Вероятность находим так.
- Разбираемся, что в задаче является исходом и сколько их.
!!! Следим за тем, чтобы исходы были равновероятными.
2. Разбираемся в том, какие исходы считаются успешными. Находим количество успешных исходов.
3. Находим вероятность – делим количество успехов на количество всех возможных исходов.
При этом не ошибаемся в арифметике и записываем ответ ДЕСЯТИЧНОЙ дробью.
4. Радуемся, что решили задачу 🙂
3. Еще два примера
3.1. На чемпионате по гимнастике выступают 50 спортсменов, среди них 6 спортсменов из Китая. Спортсменам по жребию дали номера – от 1-го до 50-го. Найдите вероятность того, что под номером 37 будет выступать гимнаст из прыгун из Китая.
В этой задаче исход – это спортсмен, которому достался 37-й номер. Всего исходов – 50. То, что говорится о 37-м номере, а не о, скажем, первом нас не смущает. У всех спортсменов равные шансы получить этот номер! Успешных исходов – 6 (спортсмены из Китая). Дальше – сами 🙂
3.2. Завод выпускает часы. В среднем на 1800 качественных часов приходится 200 часов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленные часы, сделанные на этом заводе, окажутся с дефектом.
В этой задаче – одна тонкость и одна ловушка (несложная).
Тонкость связана со словами «в среднем». По-хорошему, количество исходов, - это количество доступных покупателю часов этого завода. Количество «успехов» - количество доступных ему дефектных часов. Ни того, ни другого мы не знаем. Так в жизни бывает часто.
И часто поступают так.
1) Выбирают наугад достаточно большую группу часов, обозначим ее размер N.
2) Считают количество дефектных часов (т.е. успешных исходов) в этой группе, обозначим его G.
3) Вычисляем вероятность успеха по формуле (P – вероятность):
P = G/N
То есть, мы считаем, что вероятность успеха среди всех исходов (примерно) такая же, как и в выбранном наугад подмножестве всех исходов. Такое предположение выглядит разумно и может быть обосновано (если аккуратно разбираться, что значит «наугад», насколько большое подмножество нужно выбирать и насколько вероятность успеха для множества всех исходов может отличаться от вероятности, подсчитанной по подмножеству).
Слова «в среднем» и означают, что нужно применить такой подход. При этом в выбранном множестве исходов будет 1800 «неуспехов» (качественных часов 🙂 ) и 200 «успехов (дефектных часов). Ловушка в том, что общее количество исходов N здесь не указано. Его нужно подсчитать: N = 1800+200 = 2000. Таким образом, вероятность здесь считается по формуле P = G/N = 200/2000 = 0,1 = 10%/
4. События, их пересечения, объединения и дополнения.
Вот письмо посетителя сайта http://ege-go.ru/math-ege/b10math/comment-page-1/#comment-1262 : «Помогите, пожалуйста, решить такую задачу.
Задача. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится, равна 0,4. Вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Я рассуждаю, что исходя из того, что вероятность не может превышать 1:
1-0,2=0,8 - вероятность, того что чай останется в обоих автоматах. А в ответе 0,4. Не могу понять, где я ошибаюсь."
Комментарий. Спасибо за письмо! Задача действительно трудная. А трудность в том, чтобы разобраться, что означают слова «вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится»; «вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах»; «вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах». Я чуть позже разберу задачу на сайте подробно Пока пишу коротко.
Ты ошибаешься вот в чем. Формула 1-0,2=0,8 означает, что события «к концу дня чай закончился в обоих автоматах» и «к концу дня чай остался в обоих автоматах» являются взаимно дополнительными, то есть в любой день происходит ровно одно из этих событий и они никогда не происходят одновременно. На самом деле, одновременно эти события, конечно произойти не могут, но может не произойти ни одно из них: в одном автомате чай может закончиться, а в другом – нет. Поэтому вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах, заведомо меньше, чем 1-0,2=0,8. Насколько меньше – нужно разбираться.
Решение. Возьмем какой-то день. Для удобства, присвоим автоматам имена A и В. К концу дня может случиться ровно одно из четырех событий (говорят: эти события образуют полную систему)
1) Чай закончился в обоих автоматах (обозначение: А+В+)
2) Чай закончился в автомате А, но остался в автомате В (обозначение: А+В-)
3) Чай закончился в автомате В, но остался в автомате А (обозначение: А-В+)
4) Чай остался в обоих автоматах (обозначение: А-В-).
Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(А+В+), Р(А+В-), Р(А-В+), Р(А-В-).
Так, как перечисленные события образуют полную систему, то
Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) = 1 (1)
Событие «чай закончился в автомате А» - это объединение двух дополнительных событий Р(А+В+) и Р(А+В-). Поэтому
Р(А+В+) + Р(А+В-) = 0,4 (2)
Аналогично, для автомата В получаем:
Р(А+В+) + Р(А-В+) = 0,4 (3)
Наконец, по условию,
Р(А+В+) = 0,2 (4)
Нужную нам вероятность Р(А-В-) находим, решая систему (1)-(4).
Р(А-В-) = Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) –
- (Р(А+В+) + Р(А+В-) ) - (Р(А+В+) + Р(А+В-) ) +
+ Р(А+В+) =
= 1 -0,4 -0,4 +0,2 = 0,4.
Ответ:0,4
Замечание. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь свободно рассуждать о событиях – множествах возможных элементарных исходов. В нашей задаче элементарные исходы – это дни. Например, событие А+В- - это множество всех дней, в которые чай в автомате А закончился, а в автомате В – нет. Про подсчет количества элементов в объединении и пересечении множеств – см. http://ege-go.ru/temy/sets/ .
6 комментариев
Статься очень полезная и помогла мне разобраться с простыми задачами. Но всё равно остались пробелы. Например, я не могу понять как решить такую задачу:
"В двух соседних магазинах "Перекрёсток" и "Пятёрочка" подаются ватрушки с сыром. Вероятность того, что каком-либо магазине закончились ватрушки, - 0,2. Найдите вероятность того, что в "Пятёрочке" ватрушки закончились, а в "Перекрёстке" - ещё нет.
Это задача из пробника по алгебре.
Получается, что вероятность того, что в каком-то магазине ватрушки НЕ закончились равно 0,8 (1-0,2). Или я ошибаюсь?
Большое спасибо, если поможете.
Правильно рассуждаете. Ответ будет 0.2 * 0.8.
Спасибо. Очень пригодилось! Продолжай в том же духе!
Спасибо! Будем стараться! 🙂
Огромное спасибо! В эту сторону даже не думала...
Удачи! Пиши еще!