Главная / Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.

Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.

1.   Что такое  вероятность

Вот три задачи.

А. В корзине лежат елочные игрушки – 4 шарика разных  цветов, красный, синий, зеленый и золотой. Вера наугад достает шарик из корзины.  С какой вероятностью она достанет золотой шарик?

Б. В мешке лежат теннисные мячи разных сортов: 45 белых , 35 жёлтых и 20 светло-голубых. С какой вероятностью случайно вынутый из мешка мяч окажется желтым?

В. Для экзамена по информатике  есть 30 билетов, в 27 из них встречается вопрос по алгоритмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по алгоритмам.

Во всех этих задачах описаны однотипные ситуации. А именно.

1. Совершается определенное действие (можно сказать и так: происходит  событие):

А) Вера достает шарик из корзины.
Б) Кто-то достает мячик из мешка.
В) Школьник тащит билет.

 2. У событие может быть несколько исходов.

!!! Все исходы – равно возможны  (можно сказать – «равновероятны»).

А) Исход – какой шарик достала Вера.  Количество исходов – 4.
Б) Исход – какой мячик достали. Количество исходов – 45+35+20 = 100.
В) Исход – какому билет вытянул школьник. Количество исходов – 30.

 3. Некоторые исходы считаются «успешными» (в смысле задачи :), по жизни в таком «успехе» может ничего особенного не быть). Нам важно, сколько есть «успешных» исходов.

А) Успешный исход –Вера достала золотой шарик.
Количество успешных исходов – 1.

Б) Успешный исход – достали желтый мячик.
Количество успешных исходов – 35.

В) Успешный исход – школьник вытянул билет без вопроса по алгоритмам.
Количество успешных исходов – 30-27 = 3.

Так вот.

    Вероятность  успеха (иными словами – вероятность того, что произойдет один из исходов, которые мы считаем успешными) – это отношение числа успешных исходов к  общему числу возможных исходов.

Схематично это можно записать так (знак # заменяет слово «количество»):

 

                                         # успешных исходов

Вероятность   =     -------------------------------

                                              # всех исходов

 

Понятно, что вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.

 

4. Таким образом,  в задачах получаем такие ответы:

А) 1/4 = 0,25

Б) 35/100 = 0,35

В) 3/30 = 0,1

 

Вот, собственно говоря, и все. В заключение – два важных замечания.

Замечание 1: В основе определения вероятности – предположение о том, что все исходы равноправны (равно возможны). Например, в задаче В школьник не должен знать, что написано в билетах, а Вера не должна подсматривать. В условиях задач на это указывают слова «наугад», «по жребию», и т.п. Иногда таких слов в условии нет, равноправность исходов подразумевается по смыслу (например, в задаче В).

Замечание 2. Разбираясь, что считать исходом в конкретной задаче,  нужно следить за тем, чтобы исходы было (по смыслу задачи) равноправны (равновероятны). Например, некто мог бы в задаче Б считать исходом цвет вытащенного мячика. Тогда исходов было бы 3 (белый, желтый, светло-зеленый), из них один успешный. Но эти исходы не равноправны – ведь мячиков разное число.

Упражнение. Вот известный анекдот.

Какова вероятность того, что первый человек, которого ты встретишь, выйдя из дома, будет королева Великобритании

Ответ. Есть 2 исхода – либо королева, либо не королева. Успешный исход – 1. Значит вероятность равна ½ = 0,5 = 50%.

Разберитесь – где в рассуждении ошибка.

 2.   Как решать задачи

Вероятность находим так.

  1. Разбираемся, что в задаче является исходом и сколько их.

!!! Следим за тем, чтобы исходы были равновероятными.

2. Разбираемся в том, какие исходы считаются успешными. Находим количество успешных исходов.

3. Находим вероятность – делим количество успехов на количество всех возможных исходов.

При этом не ошибаемся в арифметике и записываем ответ ДЕСЯТИЧНОЙ дробью.

4. Радуемся, что решили задачу :)

 3.   Еще два примера

3.1. На чемпионате по гимнастике  выступают 50 спортсменов, среди них 6 спортсменов  из Китая. Спортсменам по жребию дали номера – от 1-го до 50-го. Найдите вероятность того, что под номером 37 будет выступать гимнаст из прыгун из Китая.

В этой задаче исход – это спортсмен, которому достался 37-й номер. Всего исходов – 50. То, что говорится о 37-м номере, а не о, скажем,  первом нас не смущает. У всех спортсменов равные шансы получить этот номер!  Успешных  исходов – 6 (спортсмены из Китая). Дальше – сами :)

3.2. Завод выпускает часы. В среднем на 1800 качественных часов приходится 200 часов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленные часы, сделанные на этом заводе, окажутся с дефектом.

В этой задаче – одна тонкость и одна ловушка (несложная).

Тонкость связана со словами «в среднем». По-хорошему, количество  исходов, - это количество доступных покупателю часов этого завода. Количество «успехов» - количество доступных ему дефектных часов. Ни того, ни другого мы не знаем.  Так в жизни бывает часто.

И часто поступают так.

1) Выбирают наугад достаточно большую группу часов, обозначим ее размер N.

2) Считают количество дефектных часов (т.е. успешных исходов) в этой группе, обозначим его G.

3) Вычисляем вероятность успеха по формуле (P – вероятность):

P = G/N

То есть, мы считаем, что вероятность успеха среди всех исходов (примерно) такая же, как и в выбранном наугад подмножестве всех исходов. Такое предположение выглядит разумно и может быть обосновано (если  аккуратно разбираться, что значит «наугад», насколько большое подмножество нужно выбирать и насколько вероятность успеха для множества всех исходов может отличаться от вероятности, подсчитанной по подмножеству).

Слова «в среднем» и означают, что нужно применить такой подход. При этом в выбранном множестве исходов будет 1800 «неуспехов» (качественных часов :) ) и 200 «успехов (дефектных часов). Ловушка в том, что общее количество исходов N здесь не указано. Его нужно подсчитать: N = 1800+200 = 2000. Таким образом, вероятность здесь считается по формуле P = G/N = 200/2000 = 0,1 = 10%/

Ответ: 0,1

 

  4.   События, их пересечения, объединения и дополнения.

Вот письмо посетителя сайта http://ege-go.ru/math-ege/b10math/comment-page-1/#comment-1262 :  «Помогите, пожалуйста, решить такую задачу.

Задача. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится, равна 0,4. Вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

Я рассуждаю, что исходя из того, что вероятность не может превышать 1:

1-0,2=0,8 - вероятность, того что чай останется в обоих автоматах. А в ответе 0,4. Не могу понять, где я ошибаюсь."

Комментарий. Спасибо за письмо! Задача действительно трудная. А трудность в том, чтобы разобраться, что означают слова «вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится»; «вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах»; «вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах».  Я чуть позже разберу задачу на сайте подробно  Пока пишу коротко.

Ты ошибаешься вот в чем. Формула 1-0,2=0,8 означает, что события «к концу дня чай закончился в обоих автоматах» и «к концу дня чай остался в обоих автоматах» являются взаимно дополнительными, то есть в любой день происходит ровно одно из этих событий и они никогда не происходят одновременно. На самом деле, одновременно эти события, конечно произойти не могут, но может не произойти ни одно из них: в одном автомате чай может закончиться, а в другом – нет. Поэтому   вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах, заведомо меньше, чем 1-0,2=0,8. Насколько меньше – нужно разбираться.

Решение. Возьмем какой-то день. Для удобства, присвоим автоматам имена A и В. К концу дня может случиться ровно одно из четырех событий (говорят: эти события образуют полную систему)

1)      Чай закончился в обоих автоматах (обозначение: А+В+)

2)      Чай закончился в автомате А, но остался в автомате В (обозначение: А+В-)

3)      Чай закончился в автомате В, но остался в автомате А (обозначение: А-В+)

4)      Чай остался в обоих автоматах (обозначение: А-В-).

Обозначим вероятности этих событий соответственно:  Р(А+В+), Р(А+В-),  Р(А-В+), Р(А-В-).

Так, как перечисленные события образуют полную систему, то

Р(А+В+) + Р(А+В-) +  Р(А-В+) + Р(А-В-) = 1                                                          (1)

Событие «чай закончился в автомате А» - это объединение двух дополнительных событий Р(А+В+) и Р(А+В-). Поэтому

  Р(А+В+) + Р(А+В-) = 0,4                                                                              (2)

Аналогично, для автомата В получаем:

  Р(А+В+) + Р(А-В+) = 0,4                                                                              (3)

              Наконец, по условию,

Р(А+В+) = 0,2                                                                                           (4)

                Нужную нам вероятность  Р(А-В-) находим, решая систему (1)-(4).

Р(А-В-) = Р(А+В+) + Р(А+В-) +  Р(А-В+) + Р(А-В-) –

- (Р(А+В+) + Р(А+В-) )  - (Р(А+В+) + Р(А+В-) )  +

+ Р(А+В+) =

= 1 -0,4 -0,4 +0,2 = 0,4.

Ответ:0,4

Замечание. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь свободно рассуждать о событиях – множествах возможных элементарных исходов. В нашей задаче элементарные исходы – это дни. Например, событие  А+В- - это множество всех дней, в которые чай в автомате А закончился, а в автомате В – нет. Про подсчет количества элементов в объединении и пересечении множеств – см. http://ege-go.ru/temy/sets/ .

 

 

 
 

6 Комментов

  1. Статься очень полезная и помогла мне разобраться с простыми задачами. Но всё равно остались пробелы. Например, я не могу понять как решить такую задачу:
    "В двух соседних магазинах "Перекрёсток" и "Пятёрочка" подаются ватрушки с сыром. Вероятность того, что каком-либо магазине закончились ватрушки, - 0,2. Найдите вероятность того, что в "Пятёрочке" ватрушки закончились, а в "Перекрёстке" - ещё нет.
    Это задача из пробника по алгебре.
    Получается, что вероятность того, что в каком-то магазине ватрушки НЕ закончились равно 0,8 (1-0,2). Или я ошибаюсь?
    Большое спасибо, если поможете.

  2. Спасибо. Очень пригодилось! Продолжай в том же духе!

  3. Саша:

    Огромное спасибо! В эту сторону даже не думала...

 
 

Что думаете?

 




 
 

 
 
Яндекс.Метрика